Formelsammlung Mathematik: Arkusfunktionen

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Definition der Arkusfunktionen durch den Logarithmus

$\arcsin z=-\mathrm{i}\log (\sqrt{1-z^2}+\mathrm{i}z)$

$\arccos z=-\mathrm{i}\log (z+\mathrm{i}\sqrt{1-z^2})$

$\arctan z=\frac{\mathrm{i}}{2}(\log (1-\mathrm{i}z)-\log (1+\mathrm{i}z))$ für $z\ne \pm \mathrm{i}$

$\mathrm{arccot}z=\{\begin{array}{ccc}\arctan \left(\frac{1}{z}\right)& & z\ne 0\\ \frac{\pi }{2}& & z=0\end{array}$

$\mathrm{arcsec}z=\arccos \left(\frac{1}{z}\right)$ für $z\ne 0$

$\mathrm{arccsc}z=\arcsin \left(\frac{1}{z}\right)$ für $z\ne 0$

Argument iz

$\begin{array}{ccccccc}\arcsin (\mathrm{i}z)& =& \mathrm{i}\mathrm{arsinh}z& & \mathrm{arsinh}(\mathrm{i}z)& =& \mathrm{i}\arcsin z\\ \arctan (\mathrm{i}z)& =& \mathrm{i}\mathrm{artanh}z& & \mathrm{artanh}(\mathrm{i}z)& =& \mathrm{i}\arctan z\\ \mathrm{arccot}(\mathrm{i}z)& =& -\mathrm{i}\mathrm{arcoth}z& & \mathrm{arcoth}(\mathrm{i}z)& =& -\mathrm{i}\mathrm{arccot}z\\ \mathrm{arccsc}(\mathrm{i}z)& =& -\mathrm{i}\mathrm{arcsch}z& & \mathrm{arcsch}(\mathrm{i}z)& =& -\mathrm{i}\mathrm{arccsc}z\end{array}$

Verkettung einer Winkelfunktion mit einer Arkusfunktion

$f\circ g$	$\arcsin$	$\arccos$	$\arctan$	$\mathrm{arccot}$	$\mathrm{arcsec}$	$\mathrm{arccsc}$
$\sin$	$z$	$\sqrt{1-z^2}$	$\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}$	$\frac{1}{z\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}$	$\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}$	$\frac{1}{z}$
$\cos$	$\sqrt{1-z^2}$	$z$	$\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}$	$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}$	$\frac{1}{z}$	$\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}$
$\tan$	$\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}$	$\frac{\sqrt{1-z^2}}{z}$	$z$	$\frac{1}{z}$	$z\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}$	$\frac{1}{z\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}}$
$\cot$	$\frac{\sqrt{1-z^2}}{z}$	$\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}$	$\frac{1}{z}$	$z$	$\frac{1}{z\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}}$	$z\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}$
$\sec$	$\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}$	$\frac{1}{z}$	$\sqrt{1+z^2}$	$\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}$	$z$	$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}}$
$\csc$	$\frac{1}{z}$	$\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}$	$\frac{\sqrt{1+z^2}}{z}$	$z\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}$	$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}}$	$z$

Komplementärbeziehungen

$\arcsin (z)+\arccos (z)=\frac{\pi }{2}$

$\arctan (z)+\mathrm{arccot}(z)=\{\begin{array}{ccccccc}\frac{\pi }{2}& & \mathrm{Re}(z)>0& & z\in \mathrm{i}]-1,0]& & z\in \mathrm{i}]1,\mathrm{\infty }[\\ \\ -\frac{\pi }{2}& & \mathrm{Re}(z)<0& & z\in \mathrm{i}]-\mathrm{\infty },-1[& & z\in \mathrm{i}]0,1[\end{array}$

$\mathrm{arcsec}(z)+\mathrm{arccsc}(z)=\frac{\pi }{2}$ für $z\ne 0$