Mathe für Nicht-Freaks: Vereinigung von Mengen

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Definition

Datei:Schnittmenge und Vereinigungsmenge.webm Eine weitere wichtige Verknüpfung zwischen Mengen ist die Vereinigung. Die Vereinigung zweier Mengen ist diejenige Menge, die alle Elemente beider Mengen enthält. Ein Element $x$ ist also genau dann in der Vereinigung von $A$ und $B$, wenn $x$ in $A$ und/oder $x$ in $B$ ist. Die Vereinigung wird durch $A\cup B$ gekennzeichnet (ausgesprochen: „$A$ vereinigt $B$“). Im Mengendiagramm ist die Vereinigung der gesamte Flächeninhalt beider Mengen:

Vereinigungsmenge zweier Mengen

Auch hier ist die Ähnlichkeit von $\cup$ mit der Disjunkten $\vee$, also dem logischen „oder“ beabsichtigt. Es ist nämlich

Mit Erklärungen:

Insgesamt ergibt sich folgende Definition der Vereinigung:

Beispiele

Vereinigung zweier Polygonmengen

Eigenschaften der Vereinigungsmenge

Hier die wichtigsten Eigenschaften der Vereinigung:

Disjunkte Vereinigung

Beispiel einer disjunkten Vereinigung

Möchte ein Autor deutlich machen, dass die vereinigten Mengen keine gemeinsamen Elemente haben, so schreibt er in der Regel $A\dot{\cup }B$ (ausgesprochen: „$A$ disjunkt vereinigt mit $B$“). Mengen ohne gemeinsame Elemente nennt man im Übrigen „disjunkte Mengen“. Der Operator $\dot{\cup }$ wird disjunkte Vereinigung genannt. $A\dot{\cup }B$ ist also nichts anderes als die normale Vereinigung $A\cup B$, mit dem einzigen Unterschied, dass bei der Schreibweise $A\dot{\cup }B$ der Durchschnitt der Mengen $A$ und $B$ leer ist.

Wozu braucht man die disjunkte Vereinigung? Manchmal ist es notwendig zu wissen, dass eine Menge die Vereinigung bestimmter disjunkter Mengen ist. Mit der disjunkten Vereinigung kann man dies kurz und knapp ausdrücken.

Schauen wir uns das ganz an einem Beispiel an. Folgende Formel könnte dir im ersten Semester begegnen (man benutzt sie, um die Ordnung der reellen Zahlen zu beschreiben):

Mit Erklärung:

Ohne die disjunkte Vereinigung könnte man auch schreiben:

Obige Formel mit der disjunkten Vereinigung ist kürzer und deswegen wird sie auch in der Mathematik verwendet.

Große Vereinigung

So wie wir einen großen Durchschnitt definiert haben, so definieren wir nun eine große Vereinigung. Dazu betrachten wir eine Menge $M$, deren Elemente genau die Mengen sind, über die wir die Vereinigung bilden wollen. Wir sammeln also alle die Objekte ein, die in (wenigstens) einem Element von $M$ enthalten sind.

Besteht $M$ aus den zwei Mengen $A$ und $B$, so liegen in der Vereinigung über M alle Objekte, die in A oder in B liegen. Und das ist gerade $A\cup B$. Die "kleine" Vereinigung $\cup$ ist also ein Spezialfall der großen Vereinigung $\bigcup$.

Notation

In der Mathematik ist noch eine andere Schreibweise für die großen Vereinigung üblich.

$A$ ist eine Variable und steht für die Elemente von $M$. Sie kann beliebig umbenannt werden, z. B. in $y$: $\bigcup _{y\in M}y$. Entscheidend ist die Menge $M$, mit deren Elementen wird die Vereinigung gebildet. Wenn die Elemente der Menge $M$ indiziert sind, also $M=\{A_1,A_2,A_3,\dots ,A_i,\dots \}$, mit $i\in I$, ist auch die folgende Schreibweise üblich: $\bigcup _{i\in I}{A}_i$.