Mathe für Nicht-Freaks: Disjunkte Mengen und paarweise disjunkte Mengensysteme

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Disjunkte Mengen

Erklärung und Beispiele

Datei:Disjunkte Mengen - Erklärung und Definition.webm Zwei Mengen $A$ und $B$, die keine gemeinsamen Elemente besitzen, nennt man disjunkt. Für disjunkte Mengen gibt es auch die Bezeichnungen elementfremd oder durchschnittsfremd. Das Wort „disjunkt“ leitet sich dabei vom lateinischen Wort „disiunctum“ ab, was soviel wie „getrennt“ bedeutet. Nehme als Beispiel die folgenden zwei Mengen

Diese beiden Mengen sind nicht disjunkt, weil sie das „Klavier“ als gemeinsames Objekt besitzen. Demgegenüber sind aber die folgenden beiden Mengen disjunkt, weil sie keine gemeinsamen Elemente besitzen:

Weitere Beispiele:

• 
  Die Menge mit der Spielkarte und dem Buch ist disjunkt zur Menge mit der Gitarre und der Trommel.
• 
  Ein weiteres Beispiel für zwei disjunkte Mengen
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  Disjunkte Mengen im Mengendiagramm

Definition

Der Schnitt $A\cap B$ ist die Menge aller gemeinsamen Elemente von $A$ und $B$. Zwei Mengen sind also genau dann disjunkt, wenn die Menge $A\cap B$ kein Element besitzt. Eine solche Menge ohne Elemente nennt man „leere Menge“, welche als $\varnothing$ notiert wird. Es ist also:

Verständnisfragen

Folgende Fragen setzen voraus, dass du den Begriff der Schnittmenge und der leeren Menge schon kennst (siehe die nächsten Kapitel). Du kannst diese Fragen also gerne überspringen, wenn du diese Begriffe noch nicht kennen solltest.

Paarweise disjunkte Mengensysteme

Datei:Paarweise disjunkte Mengensysteme.webm

Beispiel eines paarweise disjunkten Mengensystems mit drei Mengen

Ein Mengensystem $M$, also eine Menge von Mengen, nennt man paarweise disjunkt, wenn jeweils zwei verschiedene Mengen $A,B\in M$ disjunkt sind. Egal welche zwei unterschiedlichen Mengen $A$ und $B$ aus $M$ ausgewählt werden, diese beiden Mengen besitzen keine gemeinsamen Elemente. Zum Beispiel ist folgendes Mengensystem paarweise disjunkt:

Beispiel eines paarweise disjunkten Mengensystems

Demgegenüber ist das folgende Mengensystem nicht paarweise disjunkt, weil sich die Mengen $D$ und $E$ überschneiden:

Beispiel eines paarweise disjunkten Mengensystems

Wir fassen zusammen:

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