Varianten der klassischen Mechanik/ Hamilton-Jacobi-Theorie

Die zeitabhängigen kanonischen Transformationen führen auf folgenden Zusammenhang zwischen der transformierten Hamiltonfunktion $\overline{H}(Q,{\mathrm{\Pi }}_Q,t)$ in den neuen Koordinaten $(Q,{\mathrm{\Pi }}_Q)$ und der ursprünglichen Hamiltonfunktion $H(q,{\pi }_q,t)$ in den alten Variablen $(q,{\pi }_q)$:

$\overline{H}(Q,{\mathrm{\Pi }}_Q,t)=H(q,{\pi }_q,t)+\frac{\partial }{\partial t}{G}_n,n=1,2,3,4$.

$G_n$ ist hierbei eine der Erzeugenden der kanonischen Transformation $q=q(Q,{\mathrm{\Pi }}_Q,t),{\pi }_q={\pi }_q(Q,{\mathrm{\Pi }}_Q,t)$. Diese Transformation soll jetzt so gewählt werden, dass

$\overline{H}\equiv 0$.

Hierdurch werden die neuen kanonischen Variablen über die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen zu Konstanten:

$\dot{Q}=\frac{\partial \overline{H}}{\partial {\mathrm{\Pi }}_Q}=0⟹Q=Q_0=const.$, ${\dot{\mathrm{\Pi }}}_Q=-\frac{\partial \overline{H}}{\partial Q}=0⟹{\mathrm{\Pi }}_Q={\mathrm{\Pi }}_0=const.$.

Zusätzlich dürfen wir noch die erzeugenden Funktionen der kanonischen Transformation zu Rate ziehen: Wegen $d{G}_1(q,Q,t)={\pi }_{q}dq-{\mathrm{\Pi }}_{Q}dQ+(\overline{H}-H)dt$ folgt hieraus ${\mathrm{\Pi }}_0={\mathrm{\Pi }}_Q=-{\left(\frac{\partial }{\partial Q}\right)}_{Q=Q_0}{G}_1(q,Q,t)$ , woraus sich dann durch Auflösen q bestimmen ließe (denn Q und ${\mathrm{\Pi }}_Q$ sind ja Konstanten), wenn $G_1$ bekannt wäre. Alternativ folgt aus $d{G}_3(q,{\mathrm{\Pi }}_Q,t)={\pi }_{q}dq+Qd{\mathrm{\Pi }}_Q+(\overline{H}-H)dt$, dass $Q_0=Q={\left(\frac{\partial }{\partial {\mathrm{\Pi }}_Q}\right)}_{{\mathrm{\Pi }}_Q={\mathrm{\Pi }}_0}{G}_3(q,{\mathrm{\Pi }}_Q,t)$ gilt, woraus gleichermaßen durch Auflösen q ermittelt werden könnte, wenn $G_3$ bekannt wäre. Außerdem wäre es dann möglich, bei beiden Varianten der erzeugenden Funktion die alte kanonische Impulsvariable folgendermaßen anzugeben: ${\pi }_q=\frac{\partial }{\partial q}{G}_{1,3}$. Somit können wir die sog. "Hamilton-Jacobi'schen Differenzialgleichungen" aufstellen:

$0=\overline{H}(Q,{\mathrm{\Pi }}_Q,t)=H(q,{\pi }_q=\frac{\partial }{\partial q}{G}_1(q,Q_0,t),t)+\frac{\partial }{\partial t}{G}_1(q,Q_0,t)$

oder alternativ

$0=\overline{H}(Q,{\mathrm{\Pi }}_Q,t)=H(q,{\pi }_q=\frac{\partial }{\partial q}{G}_3(q,{\mathrm{\Pi }}_0,t),t)+\frac{\partial }{\partial t}{G}_3(q,{\mathrm{\Pi }}_0,t)$,

aus denen die erzeugenden Funktionen $G_1$ bzw. $G_3$ ermittelt werden müssen.

Die letztere Variante der Hamilton-Jacobi'schen Differenzialgleichung soll nun für den harmonischen Oszillator aufgestellt und gelöst werden. Hierzu gehen wir also wieder von der Hamiltonfunktion $H(q,{\pi }_q)=\frac{{\pi }_q^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2$ aus, woraus die folgende Differenzialgleichung resultiert:

$0=\frac{1}{2m}{\left(\frac{\partial G_3}{\partial q}\right)}^2+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2+\frac{\partial }{\partial t}{G}_3$.

Mit dem Ansatz (denn die erzeugende Funktion ist wegen ${\mathrm{\Pi }}_Q={\mathrm{\Pi }}_0=const.$ keine Funktion mehr von ${\mathrm{\Pi }}_Q$)

$G_3(q,{\mathrm{\Pi }}_0,t)=S_1\left(q\right)+S_2\left(t\right)$

wird aus jener Gleichung

$\frac{1}{2m}{\left(\frac{\partial S_1\left(q\right)}{\partial q}\right)}^2+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2=-\frac{\partial }{\partial t}{S}_2\left(t\right)$.

Da die linke Seite nur von q und die rechte Seite ausschließlich von t abhängt, können wir aus ihr zwei Gleichungen der Form

$\frac{1}{2m}{\left(\frac{\partial S_1\left(q\right)}{\partial q}\right)}^2+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2=E=const.$. $-\frac{\partial }{\partial t}{S}_2\left(t\right)=E=const.$.

bilden. Lösen wir die Erstere nach $\frac{\partial S_1}{\partial q}$ auf und integrieren dies über q, so erhalten wir:

$S_1=\int dq\sqrt{2m(E-\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2)}$.

Entsprechend hierzu wird die zweite Gleichung über die Zeit integriert:

$S_2=-Et+const.$.

Die im Prinzip beliebige Konstante ${\mathrm{\Pi }}_0$ wählen wir einfach gleich E: ${\mathrm{\Pi }}_Q={\mathrm{\Pi }}_0=E$. Außerdem gilt:

$const.=Q_0=Q={\left(\frac{\partial }{\partial {\mathrm{\Pi }}_Q}\right)}_{{\mathrm{\Pi }}_Q={\mathrm{\Pi }}_0}{G}_3(q,{\mathrm{\Pi }}_Q,t)=\frac{\partial }{\partial E}(S_1\left(q\right)+S_2\left(t\right))=\sqrt{\frac{m}{2}}\int dq\frac{1}{\sqrt{E-\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2}}-t$.

Mit Hilfe der Substitution $\sqrt{\frac{m{\omega }^2}{2E}}q=\sin \alpha$ folgt hieraus die bekannte Lösung des harmonischen Oszillators:

$q\left(t\right)=\sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}}\sin (\omega t+\delta )$,

mit der Konstanten $\delta =\omega Q_0$.