Tabelle Standardnormalverteilung

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Dies ist ein Ergänzungsartikel zum Artikel Normalverteilung in der Wikipedia. Die im Artikel oft erwähnte Tabelle der 0-1-Normalverteilung ist hier angeführt.

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Da sich das Integral der Standardnormalverteilung

$F(x)=\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi }}\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{t-\mu }{\sigma }\right)}^2}\mathrm{d}t$

nicht auf eine elementare Stammfunktion zurückführen lässt, wird für die Berechnung meist auf Tabellen zurückgegriffen. Diese gelten aber nicht für beliebige $\mu$ und $\sigma$ Werte, sondern nur für die standardisierte Form der Gauß'schen Verteilung, bei der jeweils $\mu =0$ und $\sigma =1$ ist (man spricht auch von einer 0-1-Normalverteilung, Standardnormalverteilung oder normierten Normalverteilung). Trotzdem ist die Tabelle auch für beliebige $\mu$-$\sigma$-Normalverteilung nützlich, da sich diese auf sehr einfache Weise in eine 0-1 Verteilung überführen lassen. Die folgende Tabelle der Standardnormalverteilung berechnet sich demnach durch folgende Funktion

${\mathrm{\Phi }}_{0;1}(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{z}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}{t}^2}\mathrm{d}t$

(weil $\mu =0$ und $\sigma =1$)

Als Reihenentwicklung:

${\mathrm{\Phi }}_{0;1}(z)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{2^n(2n+1)n!}$

Für weitere Details siehe Normalverteilung.

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

${\mathrm{\Phi }}_{0;1}(z)$

z \ *	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0*	0,50000	0,50399	0,50798	0,51197	0,51595	0,51994	0,52392	0,52790	0,53188	0,53586
0,1*	0,53983	0,54380	0,54776	0,55172	0,55567	0,55962	0,56356	0,56749	0,57142	0,57535
0,2*	0,57926	0,58317	0,58706	0,59095	0,59483	0,59871	0,60257	0,60642	0,61026	0,61409
0,3*	0,61791	0,62172	0,62552	0,62930	0,63307	0,63683	0,64058	0,64431	0,64803	0,65173
0,4*	0,65542	0,65910	0,66276	0,66640	0,67003	0,67364	0,67724	0,68082	0,68439	0,68793
0,5*	0,69146	0,69497	0,69847	0,70194	0,70540	0,70884	0,71226	0,71566	0,71904	0,72240
0,6*	0,72575	0,72907	0,73237	0,73565	0,73891	0,74215	0,74537	0,74857	0,75175	0,75490
0,7*	0,75804	0,76115	0,76424	0,76730	0,77035	0,77337	0,77637	0,77935	0,78230	0,78524
0,8*	0,78814	0,79103	0,79389	0,79673	0,79955	0,80234	0,80511	0,80785	0,81057	0,81327
0,9*	0,81594	0,81859	0,82121	0,82381	0,82639	0,82894	0,83147	0,83398	0,83646	0,83891
1,0*	0,84134	0,84375	0,84614	0,84849	0,85083	0,85314	0,85543	0,85769	0,85993	0,86214
1,1*	0,86433	0,86650	0,86864	0,87076	0,87286	0,87493	0,87698	0,87900	0,88100	0,88298
1,2*	0,88493	0,88686	0,88877	0,89065	0,89251	0,89435	0,89617	0,89796	0,89973	0,90147
1,3*	0,90320	0,90490	0,90658	0,90824	0,90988	0,91149	0,91309	0,91466	0,91621	0,91774
1,4*	0,91924	0,92073	0,92220	0,92364	0,92507	0,92647	0,92785	0,92922	0,93056	0,93189
1,5*	0,93319	0,93448	0,93574	0,93699	0,93822	0,93943	0,94062	0,94179	0,94295	0,94408
1,6*	0,94520	0,94630	0,94738	0,94845	0,94950	0,95053	0,95154	0,95254	0,95352	0,95449
1,7*	0,95543	0,95637	0,95728	0,95818	0,95907	0,95994	0,96080	0,96164	0,96246	0,96327
1,8*	0,96407	0,96485	0,96562	0,96638	0,96712	0,96784	0,96856	0,96926	0,96995	0,97062
1,9*	0,97128	0,97193	0,97257	0,97320	0,97381	0,97441	0,97500	0,97558	0,97615	0,97670
2,0*	0,97725	0,97778	0,97831	0,97882	0,97932	0,97982	0,98030	0,98077	0,98124	0,98169
2,1*	0,98214	0,98257	0,98300	0,98341	0,98382	0,98422	0,98461	0,98500	0,98537	0,98574
2,2*	0,98610	0,98645	0,98679	0,98713	0,98745	0,98778	0,98809	0,98840	0,98870	0,98899
2,3*	0,98928	0,98956	0,98983	0,99010	0,99036	0,99061	0,99086	0,99111	0,99134	0,99158
2,4*	0,99180	0,99202	0,99224	0,99245	0,99266	0,99286	0,99305	0,99324	0,99343	0,99361
2,5*	0,99379	0,99396	0,99413	0,99430	0,99446	0,99461	0,99477	0,99492	0,99506	0,99520
2,6*	0,99534	0,99547	0,99560	0,99573	0,99585	0,99598	0,99609	0,99621	0,99632	0,99643
2,7*	0,99653	0,99664	0,99674	0,99683	0,99693	0,99702	0,99711	0,99720	0,99728	0,99736
2,8*	0,99744	0,99752	0,99760	0,99767	0,99774	0,99781	0,99788	0,99795	0,99801	0,99807
2,9*	0,99813	0,99819	0,99825	0,99831	0,99836	0,99841	0,99846	0,99851	0,99856	0,99861
3,0*	0,99865	0,99869	0,99874	0,99878	0,99882	0,99886	0,99889	0,99893	0,99896	0,99900
3,1*	0,99903	0,99906	0,99910	0,99913	0,99916	0,99918	0,99921	0,99924	0,99926	0,99929
3,2*	0,99931	0,99934	0,99936	0,99938	0,99940	0,99942	0,99944	0,99946	0,99948	0,99950
3,3*	0,99952	0,99953	0,99955	0,99957	0,99958	0,99960	0,99961	0,99962	0,99964	0,99965
3,4*	0,99966	0,99968	0,99969	0,99970	0,99971	0,99972	0,99973	0,99974	0,99975	0,99976
3,5*	0,99977	0,99978	0,99978	0,99979	0,99980	0,99981	0,99981	0,99982	0,99983	0,99983
3,6*	0,99984	0,99985	0,99985	0,99986	0,99986	0,99987	0,99987	0,99988	0,99988	0,99989
3,7*	0,99989	0,99990	0,99990	0,99990	0,99991	0,99991	0,99992	0,99992	0,99992	0,99992
3,8*	0,99993	0,99993	0,99993	0,99994	0,99994	0,99994	0,99994	0,99995	0,99995	0,99995
3,9*	0,99995	0,99995	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99997	0,99997
4,0*	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99998	0,99998	0,99998	0,99998

Anmerkung: Negative Werte werden aus Gründen der Symmetrie nicht angegeben, weil $\mathrm{\Phi }(-z)=1-\mathrm{\Phi }(z)$ ist.

Arbeiten mit der Tabelle

Aus der Tabelle kann die Wahrscheinlichkeit $\mathrm{\Phi }(z)$ für die Standardnormalverteilung ermittelt werden. Aufgrund des Zusammenhanges $\mathrm{\Phi }(-z)=1-\mathrm{\Phi }(z)$ (und damit auch wegen der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve) sind hier nur die positiven Werte von $z$ zu finden.

Ist nun die Wahrscheinlichkeit $\mathrm{\Phi }(z)$ für Werte von $z$ im Intervall von 0 bis 4.09 gesucht, so steht $z$ bis zum Zehntel in der linken Randzeile der Tabelle und das Hunderstel findet sich in der Kopfzeile. Dort wo sich die zugehörige Zeile und Spalte kreuzen steht die Wahrscheinlichkeit $\mathrm{\Phi }(z)$.

Übersteigt $z$ die Grenze von 4.09, dann gilt

$\mathrm{\Phi }(z)\approx 1$ , für $z>4.09$

Vorsicht ist bei der Umkehrung geboten, bei der eine Wahrscheinlichkeit vorgegeben und das dazugehörige $z$ gesucht ist. Hier muss derjenige Wert $\mathrm{\Phi }(z)$ angesehen werden, der den geringeren Abstand zur vorgegebenen Wahrscheinlichkeit hat. Anschließend setzt man $z$ aus der Zeile und Spalte dieses Wertes zusammen. Ist also z.B. die Wahrscheinlichkeit 0,90670 gegeben, so wird in der Tabelle der Wert 0,90658 (entspricht einem $z$ von 1.32 ) gewählt, weil dieser viel näher liegt, als der nächste mögliche Wert von 0,90824 (wobei dieser ein $z$ von 1.33 ergäbe).

Anmerkung: Wurde eine beliebige $\mu$-$\sigma$-Normalverteilung in die Standardnormalverteilung transformiert, so muss die in der Tabelle abgelesene Wahrscheinlichkeit nicht mehr rücktransformiert werden, da eine flächengleiche Transformation vorliegt! (Wurde hingegen $z$ aus der Tabelle ermittelt, so muss die Grenze $x$ noch durch $x=z\sigma +\mu$ berechnet werden.)

Beispiel

Gegeben sei eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu$ von 5 und der Standardabweichung $\sigma$ von 2. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable $X$ zwischen den Werten 3 und 7 liegt.

Formal: $N_{5;2}:P(3\le X\le 7)$

Betrachtet man die Gauß'sche Glockenkurve, dann ist dies die Fläche unter dem Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$, mit $\mu =5$ und $\sigma =2$,

welche durch $x_1$ und $x_2$ begrenzt wird.

Um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können, muss die zu dieser Wahrscheinlichkeitsdichte gehörige Verteilungsfunktion

$F(x)=\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi }}\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{t-\mu }{\sigma }\right)}^2}\mathrm{d}t$

transformiert werden (was im Kapitel Transformation der Normalverteilung im Artikel w:Normalverteilung formal beschrieben ist). Durch die Transformation wird die Kurve mit dem Erwartungswert $\mu$ der Standardabweichung $\sigma$ verschoben und gestaucht (bzw. gestreckt), so dass sie einer 0-1-Normalverteilung entspricht. Dabei verschieben sich aber auch die Grenzen $x_1$ und $x_2$, ebenfalls wird die Zufallsvariable $X$ transformiert.

Dies geschieht durch

$z=\frac{x-\mu }{\sigma }$ bzw. $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$

(D. h. bei der eigentlichen Berechnung müssen die Transformationsschritte der Verteilungsfunktion nicht durchgerechnet werden, sie dienen nur dem Verständnis, wie die z-Formel zustande kommt.)

Am Beispiel gezeigt:

$P(3\le X\le 7)$

$=P(\frac{x_1-\mu }{\sigma }\le Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\le \frac{x_2-\mu }{\sigma })$

$=P(-1\le Z\le 1)$

$=P(Z\le 1)-P(Z\le -1)$

$=\mathrm{\Phi }(1)-\mathrm{\Phi }(-1)$

Während man nun den Wert für $\mathrm{\Phi }(1)$ einfach aus der Tabelle bestimmen kann, muss man sich für $\mathrm{\Phi }(-1)$ überlegen, dass die gesuchte Fläche(bzw. Wahrscheinlichkeit) sich von $-\mathrm{\infty }$ bis zur Grenze -1 erstreckt. Durch die Symmetrie der Glockenkurve ist dies allerdings derselbe Wert wie von +1 bis $\mathrm{\infty }$. Von der Gesamtfläche unter der Kurve, die ja 1 ist (=Wahrscheinlichkeit für ein sicheres Ereignis) wird also $\mathrm{\Phi }(1)$ abgezogen, d. h.

$\mathrm{\Phi }(-1)=1-\mathrm{\Phi }(1)$

Umgelegt auf das Beispiel ergibt sich

$\mathrm{\Phi }(1)-\mathrm{\Phi }(-1)=\mathrm{\Phi }(1)-(1-\mathrm{\Phi }(1))$

$=2\cdot \mathrm{\Phi }(1)-1$       // $\mathrm{\Phi }(1)$ in der Tabelle nachschlagen

$=2\cdot 0,84134-1$

$=0,68264$

D. h. die angegebene Normalverteilung hat eine Wahrscheinlichkeit von fast 70 Prozent.

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