Statistische Mechanik/ Skalenrelationen

Die kritischen Exponenten der Landau-Theorie sind nicht voneinander unabhängig, was jetzt im Rahmen der Annahmen dieser Theorie gezeigt werden soll. Die Beziehungen untereinander werden gerne als »Skalenrelationen« bezeichnet.

Aus

${\left|t\right|}^{\beta }\sim m_0\stackrel{!}{=}\chi h\sim {\left|t\right|}^{-\gamma }h$

folgt ${\left|t\right|}^{\beta +\gamma }\sim h$. Dies verwenden wir zum einen in ${\left|t\right|}^{\beta }\sim m_0\sim h^{\frac{1}{\delta }}$, woraus $\beta \delta =\beta +\gamma$ resultiert. Zum andern verwenden wir es mit $m_0^2\approx -\frac{a}{2b}t$ und $c_P\approx \frac{a}{2b}{T}_C\underset{t\to 0,t>0}{\sim }{t}^{-\alpha }$ (mit $T\approx T_C$ wegen $t\to 0$) in

${\left|t\right|}^{\beta }h\sim m_{0}hV\approx at{m}_0^2\approx -\frac{a^2}{2b}{t}^2\approx -\frac{c_p}{T_C}{t}^2\sim {\left|t\right|}^{-\alpha +2}$,

was zu $h\sim {\left|t\right|}^{2-\alpha -\beta }$ führt, sodass sich $\alpha +2\beta +\gamma =2$ ergibt. Der Zusammenhang zwischen dem mittleren Schwankungsquadrat des Ordnungsparameters und der Korrelationsfunktion führt wegen $r\sim \xi$ (da $\hat{G}\left(r\right)\propto \frac{1}{r}{e}^{-\frac{r}{\xi }}$) und somit $\hat{G}\left(r\right)\sim r^{-d+2-\eta }\sim {\xi }^{-d+2-\eta }$ als auch $V\sim r^d\sim {\xi }^d$ , $\chi \sim {\left|t\right|}^{-\gamma }$ zu:

${\xi }^{-d}{\left|t\right|}^{-\gamma }\sim \frac{\chi k_B{T}_C}{V}=⟨{\left(\mathrm{\Delta }m\right)}^2⟩=\frac{1}{V}\int d^{3}x\hat{G}\left(r\right)\sim {\xi }^{-d+2-\eta }$,

woraus wir durch Vergleich mit $\xi \underset{t\to 0}{\sim }{\left|t\right|}^{-\nu }$ die Gleichung $\nu (2-\eta )=\gamma$ erschließen können.

Aus dem Ginzburg-Kriterium,

${\xi }^{-d}{\left|t\right|}^{-\gamma }\sim \frac{\chi k_B{T}_C}{V}=⟨{\left(\mathrm{\Delta }m\right)}^2⟩\approx m_0^2\sim {\left|t\right|}^{2\beta }$,

erhalten wir zudem die sog. »Hyperskalenrelation«: $\nu d=2\beta +\gamma$ bzw. mittels $\alpha +2\beta +\gamma =2$ auch $\nu d=2-\alpha$.

Die Skalenrelationen beruhen auf der Invarianz der in der Landau-Theorie auftretenden Beziehungen unter sog. »Skalentransformationen«, was im Folgenden gezeigt werden soll. Beispielsweise ist $\hat{G}\left(r\right)\sim e^{-\frac{r}{\xi }}$ invariant unter den (gleichzeitigen) Transformationen $r\to \frac{r}{L}$ und $\xi \to \frac{\xi }{L}$, was wir umgekehrt auch als $r\sim \xi \sim L$ deuten werden. Setzen wir hierin $L={\left|t\right|}^{-\frac{1}{{\mathrm{\Delta }}_t}}$, dann erhalten wir über $\xi \sim L={\left|t\right|}^{-\frac{1}{{\mathrm{\Delta }}_t}}\sim {\left|t\right|}^{-\nu }$ den kritischen Exponenten $\nu =\frac{1}{{\mathrm{\Delta }}_t}$.

Die freie Enthalpie ist eine extensive Größe, d.h. $g\propto V\propto L^d$, weshalb wir folgenden Ansatz wagen:

$g(t,h)=\frac{1}{L^d}g(t{L}^{{\mathrm{\Delta }}_t},h{L}^{{\mathrm{\Delta }}_h})=\frac{1}{L^d}g(x,y)$,

wobei wir fortan $t=\frac{T-T_C}{T_C}$ definieren möchten, sodass $\underset{T\to T_C}{\lim }\left|t\right|\ll 1$.

Setzen wir $L={\left|t\right|}^{-\frac{1}{{\mathrm{\Delta }}_t}}$, dann erhalten wir aus unserem Ansatz

$g(t,h)={\left|t\right|}^{\frac{d}{{\mathrm{\Delta }}_t}}g(\pm 1,h{\left|t\right|}^{-\frac{{\mathrm{\Delta }}_h}{{\mathrm{\Delta }}_t}})$.

Für die Wärmekapazität resultiert hieraus wegen

${\left|t\right|}^{-\alpha }\sim c=T\frac{\partial S}{\partial T}=-T\frac{{\partial }^{2}g}{\partial T^2}\underset{t\to 0,T\approx T_C}{\sim }{\left|t\right|}^{\frac{d}{{\mathrm{\Delta }}_t}-2}$

der kritische Exponent $\alpha =2-\frac{d}{{\mathrm{\Delta }}_t}$.

Außerdem berechnen wir z.B. wie bei der Magnetisierung eines Ferrormagneten m wie folgt aus der freien Enthalpie:

$m=-\frac{\partial g}{\partial h}=L^{{\mathrm{\Delta }}_h-d}\left({\partial }_{y}g\right)(t{L}^{{\mathrm{\Delta }}_t},h{L}^{{\mathrm{\Delta }}_h})$.

Hierin setzen wir zunächst $L={\left|h\right|}^{-\frac{1}{{\mathrm{\Delta }}_h}}$, woraus

$m={\left|h\right|}^{\frac{d-{\mathrm{\Delta }}_h}{{\mathrm{\Delta }}_h}}\left({\partial }_{y}g\right)(t{\left|h\right|}^{-\frac{{\mathrm{\Delta }}_t}{{\mathrm{\Delta }}_h}},\pm 1)\sim {\left|h\right|}^{\frac{1}{\delta }}$

mit $\delta =\frac{{\mathrm{\Delta }}_h}{d-{\mathrm{\Delta }}_h}$ resultiert. Dann setzen wir in die Gleichung für m $L={\left|t\right|}^{-\frac{1}{{\mathrm{\Delta }}_t}}$, sodass sich

$m={\left|t\right|}^{\frac{d-{\mathrm{\Delta }}_h}{{\mathrm{\Delta }}_t}}\left({\partial }_{y}g\right)(\pm 1,h{\left|t\right|}^{-\frac{{\mathrm{\Delta }}_h}{{\mathrm{\Delta }}_t}})\sim {\left|h\right|}^{\beta }$

mit $\beta =\frac{d-{\mathrm{\Delta }}_h}{{\mathrm{\Delta }}_t}$ ergibt. Aus den Gleichungen für $\beta$ und $\delta$ lässt sich das Verhältnis $\frac{{\mathrm{\Delta }}_t}{{\mathrm{\Delta }}_h}=\frac{1}{\beta \delta }$ berechnen, das sich z.B. in die erstere der beiden Gleichungen für m einsetzen lässt:

$m={\left|h\right|}^{\frac{1}{\delta }}\left({\partial }_{y}g\right)(t{\left|h\right|}^{-\frac{1}{\beta \delta }},\pm 1)$.

Die Suszeptibilität

$\chi =\left(\frac{\partial m}{\partial h}\right)=-\frac{{\partial }^{2}g}{\partial h^2}=-L^{2{\mathrm{\Delta }}_h-d}\left(\underset{y}{\overset{2}{\partial }}g\right)(t{L}^{{\mathrm{\Delta }}_t},h{L}^{{\mathrm{\Delta }}_h})$

liefert mit $L={\left|t\right|}^{-\frac{1}{{\mathrm{\Delta }}_t}}$ über

$\chi =-{\left|t\right|}^{\frac{d-2{\mathrm{\Delta }}_h}{{\mathrm{\Delta }}_t}}\left(\underset{y}{\overset{2}{\partial }}g\right)(\pm 1,{\left|t\right|}^{-\frac{{\mathrm{\Delta }}_h}{{\mathrm{\Delta }}_t}})\sim {\left|t\right|}^{-\gamma }$

den kritischen Exponenten $\gamma =2\frac{{\mathrm{\Delta }}_h}{{\mathrm{\Delta }}_t}-\frac{d}{{\mathrm{\Delta }}_t}$. Aus $\nu =\frac{1}{{\mathrm{\Delta }}_t}$ erhalten wir zum einen eine neue Gleichung für Alpha, $\alpha =2-\frac{d}{{\mathrm{\Delta }}_t}=\alpha =2-\nu d$, was bereits die Hyperskalenrelation ist, und zum andern mittels $\frac{{\mathrm{\Delta }}_t}{{\mathrm{\Delta }}_h}=\frac{1}{\beta \delta }$ eine neue Gleichung für Gamma: $\gamma =2\frac{{\mathrm{\Delta }}_h}{{\mathrm{\Delta }}_t}-\frac{d}{{\mathrm{\Delta }}_t}=2\beta \delta -\nu d$. Die Gleichung $\delta =\frac{{\mathrm{\Delta }}_h}{d-{\mathrm{\Delta }}_h}$ lässt sich sehr einfach nach ${\mathrm{\Delta }}_h$ auflösen, was ${\mathrm{\Delta }}_h=\frac{\delta d}{1+\delta }$ ergibt. Dieses Resultat kann wiederum in die Gleichung für Beta eingesetzt und nach ${\mathrm{\Delta }}_t$ aufgelöst werden: ${\mathrm{\Delta }}_t=\frac{d-{\mathrm{\Delta }}_h}{\beta }=\frac{d}{\beta (1+\delta )}$. Setzen wir wiederum diese Gleichung für ${\mathrm{\Delta }}_t$ in die ursprüngliche für Alpha ein, dann ergibt sich $\alpha =2-\frac{d}{{\mathrm{\Delta }}_t}=\alpha =2-\beta -\beta \delta$. Letztere Gleichung können wir aber verwenden, um in der neuen Gleichung für Gamma den Term mit $\beta \delta$ zu ersetzen, woraus schließlich die Skalenrelation $\alpha +2\beta +\gamma =2$ resultiert.

Mit Hilfe von $\chi \sim {\left|t\right|}^{-\gamma }$ , $V\sim {\xi }^d$, $\xi \sim {\left|t\right|}^{-\nu }$, $m\sim {\left|t\right|}^{\beta }$ und des Ginzburg-Kriteriums,

${\left|t\right|}^{-\gamma +\nu d}\sim {\xi }^{-d}{\left|t\right|}^{-\gamma }\sim \frac{\chi k_B{T}_C}{V}=⟨{\left(\mathrm{\Delta }m\right)}^2⟩\ll m_0^2\sim {\left|t\right|}^{2\beta }$,

bzw.

$R{\left|t\right|}^{-\gamma +\nu d-2\beta }\ll 1$,

worin R eine systemabhängige Reichweite der Wechselwirkung sei, lässt sich eine sog. »obere kritische Dimension« einführen, ab der die Landau-Theorie richtig wird. Denn mit den Werten dieser Theorie für die kritischen Exponenten $\gamma =1$ und $\nu =\beta =\frac{1}{2}$ ergibt sich für $\left|t\right|\ll 1$, dass dann $\frac{d}{2}-2>0$ d.h. $d=4$ gelten muss. Umgekehrt kann es auch eine sog. »untere kritische Dimension« geben, bei der der Phasenübergang durch Fluktuationen unterdrückt wird.