Statistische Mechanik/ Landau-Theorie

In der Landau-Theorie wird phänomenologisch ein Ordnungsparameter m, wie z.B. ein magnetisches Moment, eingeführt, der wie bei der spontanen Magnetisierung eines Ferromagneten in der ungeordneten Phase, oberhalb einer kritischen Temperatur $T_C$, gleich Null ist, aber in der geordneten Phase, unterhalb von $T_C$, ungleich Null wird. Die freie Enthalpie des betrachteten Systems entwickeln wir nun um $m\approx 0$:

$G(T,P,m)=\frac{1}{V}\int d^{3}xg(T,P,m;\overrightarrow{r})$ $\underset{m\approx 0}{\approx }\frac{1}{V}\int d^{3}x[g_0(T,P;\overrightarrow{r})+A(T,P)m^2\left(\overrightarrow{r}\right)+b(T,P)m^4\left(\overrightarrow{r}\right)+y(T,P){\left(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}m\left(\overrightarrow{r}\right)\right)}^2-m\left(\overrightarrow{r}\right)hV]$.

Ungerade Potenzen von m wurden hierin aus Symmetriegründen weggelassen: Denn bei einer Zeitumkehr $\tau \to -\tau$ dreht der Ordnungsparameter z.B. als magnetisches Moment sein Vorzeichen um, $m\underset{\tau \to -\tau }{⟶}-m$, während die freie Enthalpie(dichte) unter einer Zeitumkehr (für verschwindende Parameter h und y) invariant sein soll: $g(T,P,m;\overrightarrow{r})\underset{\tau \to -\tau }{⟶}g(T,P,-m;\overrightarrow{r})\stackrel{!}{=}g(T,P,m;\overrightarrow{r})$.

Im Fall eines inhomogenen Mediums ist der Term ${\left(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}m\right)}^2$ ungleich Null. Mit Hilfe des Gauß'schen Integralsatzes ließen sich hingegen Terme wie $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}m$ oder ${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{2}m$ in (verschwindende) Oberflächenterme umwandeln: Daher treten diese in der Entwicklung von $g(T,P,m;\overrightarrow{r})$ nicht auf. Die Abhängigkeit insbesondere des Ordnungsparameters vom Ort werden wir zunächst vernachlässigen. Erst im Zusammenhang mit Fluktuationen um Gleichgewichtszustände werden wir die Ortsabhängigkeit wieder beachten.

Die freie Enthalpie soll außerdem noch einen Störterm $-mhV$ enthalten, in dem ein äußeres Feld h wie z.B. ein Magnetfeld vorkommt, so dass er dann z.B. einem magnetischen Dipolenergie-Term entspräche.

Zunächst beschränken wir uns aber auf den Fall, dass sowohl das äußere Feld als auch der Inhomogenitätsterm verschwinden, d.h. $h=0$ und $y=0$. Im thermodynamischen Gleichgewicht muss die freie Enthalpie ein Minimum annehmen. Für ein solches Extremum wird die Ableitung von g nach m verschwinden:

$0={\left(\frac{\partial g}{\partial m}\right)}_{h,y=0}=2Am+4b{m}^3$,

woraus die Extremstellen $m_1=0$ und $m_2^2=-\frac{A}{2b}$ resultieren.

Das das Extremum ein Minimum darstellen soll, fordern wir

$0<{\left(\frac{{\partial }^{2}g}{\partial m^2}\right)}_{h,y=0}=2A+12b{m}^2$,

woraus für $m_1=0$ ein $A(T,P)>0$ bzw. für $m_2^2=-\frac{A}{2b}$ ein $A(T,P)<0$ folgt. Hieraus entnehmen wir, dass es ein kritisches Wertepaar $(T_C,P_C)$ geben muss, bei dem $A(T_C,P_C)=0$ gilt. An diesem Übergangspunkt muss offensichtlich $b>0$ gelten, damit die Minimumsbedingung erfüllt ist. Dies ist zudem konsistent mit reellen Werten für $m$, da ja auch $m_2^2=-\frac{A}{2b}$ und $A(T,P)<0$ erfüllt sein müssen. Wir spalten wegen des eingangs erwähnten Verhaltens des Ordnungsparameters in der Umgebung der kritische Temperatur von $A(T,P)$ einen Faktor $t=(T-T_C)$ ab: $A(T,P)=a\left(P\right)(T-T_C)$, so dass für $T<T_C$ zum einen $A(T,P)<0$ und somit auch $m=\pm \sqrt{-\frac{A}{2b}}$ gilt. Für $A(T,P)>0$, d.h. $T>T_C$, soll hingegen $m=0$ sein. Zusammengefasst bedeutet dies für den Ordnungsparameter $m_0$, an dem die freie Enthalpie ein Minimum annimmt:

$m_0^2=\{\begin{array}{cc}-\frac{a}{2b}t,& T<T_C\iff t<0\\ 0,& T\ge T_C\iff t\ge 0\end{array}$.

Hieraus können wir den ersten kritischen Exponenten, $\beta$, ablesen, denn aus $m\underset{t\to 0,t<0}{\sim }{(-t)}^{\beta }$ resultiert $\beta =\frac{1}{2}$.

Fig. 1: $g\left(m\right)$ oberhalb und unterhalb von $T_C$

Als nächstes bestimmen wir die Entropie des Gleichgewichtszustands. Hierzu setzen wir $m_0$ in $g(T,P,m)$ mit $h=0$ und $y=0$ und unter Beachtung von $A(T,P)=a\left(P\right)t$ ein:

$g(T,P,m_0)=g_0(T,P)+A(T,P)m_0^2+b(T,P)m_0^4=\{\begin{array}{cc}{g}_0(T,P)-\frac{a^2\left(P\right)}{4b(T,P)}{t}^2,& t<0\\ g_0(T,P),& t\ge 0\end{array}$

und vernachlässigen beim Bilden der Entropie(dichte) Ableitungen des Terms $b(T,P)$ :

$S=-{\left(\frac{\partial g}{\partial T}\right)}_P=\{\begin{array}{cc}-{\left(\frac{\partial g_0}{\partial T}\right)}_P+\frac{a^2}{2b}t,& t<0\\ -{\left(\frac{\partial g_0}{\partial T}\right)}_P,& t\ge 0\end{array}=\{\begin{array}{cc}{S}_0(T,P)+\frac{a^2\left(P\right)}{2b(T,P)}t,& t<0\\ S_0(T,P),& t\ge 0\end{array}$.

Daraus herhalten wir wiederum die Wärmekapazität bei konstantem Druck (und vernachlässigen dabei wieder Ableitungen des Terms $b(T,P)$):

$C_P=T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_P=\{\begin{array}{cc}-T{\left(\frac{\partial S_0}{\partial T}\right)}_P+\frac{a^2}{2b},& t<0\\ -T{\left(\frac{\partial S_0}{\partial T}\right)}_P,& t\ge 0\end{array}=\{\begin{array}{cc}{C}_{P,0}+\frac{a^2}{2b},& t<0\\ C_{P,0},& t\ge 0\end{array}$.

Weil die Entropie s stetig aber in $t=0$ nicht differenzierbar ist, erleidet die Wärmekapazität an diesem Punkt einen Sprung: d.h. es handelt sich dabei um einen Phasenübergang zweiter Ordnung. Wegen $C_P\underset{t\to 0,t>0}{\sim }{t}^{-\alpha }$ beträgt der kritische Exponent $\alpha =0$.

Wir betrachten jetzt den Fall, dass das äußere Feld h ungleich Null ist (wobei aber auch weiterhin $y=0$ sei): Der Störterm $m_{0}hV$ kann dabei u.U. vergleichbar groß werden wie das thermische Glied $A(T,P)m_0^2=at{m}_0^2$, d.h. $m_{0}hV\sim at{m}_0^2$, die beiden Terme stehen also sozusagen in einem Wettstreit miteinander. Der Phasenübergang an einem diskreten Punkt $(T_C,P_C)$ wird dadurch über ein t-Intervall »verschmiert«.

Im thermodynamischen Gleichgewicht gelte wieder mit $A(T,P)=a\left(P\right)t$:

$0={\left(\frac{\partial g}{\partial m}\right)}_{y=0}=2Am+4b{m}^3-hV=\underset{f_t\left(m\right)}{\underbrace{2atm+4b{m}^3}}-hV$.

Für $h=0$ erhalten wir $0=f_t\left(m\right)=2atm+4b{m}^3$ und daraus wiederum die drei bereits bekannten Nullstellen $m_1=0$ und $m_{2,3}^2=-\frac{at}{2b}$. Im Folgenden sei hingegen $h\ne 0$.

Für $T=T_C$ bzw. $t=0$ erhalten wir $m^3=\frac{V}{4b}h$ und somit aus $m\sim h^{\frac{1}{3}}=h^{\frac{1}{\delta }}$ einen kritischen Exponenten $\delta =3$.

Für $T>T_C$, also $t>0$, wird $f_t\left(m\right)$ monoton wachsen und daher nur eine Nullstelle, $m_1=0$, besitzen. Der Ordnungsparameter m ist somit eine eindeutige Funktion des äußeren Feldes h.

Für $T<T_C$, also $t<0$, hat $f_t\left(m\right)$ drei reelle Nullstellen: $m_1=0$ und $m_{2,3}=\pm \sqrt{-\frac{at}{2b}}$, wodurch m keine eindeutige Funktion des äußeren Feldes h mehr ist. Es gibt somit metastabile Bereiche, weil die Suszeptibilität $\chi =\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{\partial m}{\partial h}\right)}_T$ dort negative Werte annähme. Ähnlich wie beim realen Gasgesetzt (Van-der-Waals'sche Gleichung) kann dieser Bereich mit Hilfe einer Maxwell-Konstruktion ersetzt werden, sodass immer $\chi =\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{\partial m}{\partial h}\right)}_T>0$ gilt. Differenzieren wir die Gleichung

$0={\left(\frac{\partial g}{\partial m}\right)}_{y=0}=2at{m}_0+4b{m}_0^3-hV$

zusätzlich noch nach h, dann erhalten wir

$0=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\partial }{\partial h}{\left(\frac{\partial g}{\partial m}\right)}_{y=0}=2at\chi +12b{m}_0^2\chi -V$,

worin $m_0^2=\{\begin{array}{cc}-\frac{a}{2b}t,& t<0\\ 0,& t\ge 0\end{array}$ wegen des gebildeten Limes $h\to 0$ verwendet werden darf, sodass sich schließlich

$\chi =\frac{V}{2at+12b{m}_0^2}=\{\begin{array}{cc}-\frac{V}{4at},& t<0\\ \frac{V}{2at},& t\ge 0\end{array}\underset{t\to 0}{\sim }{\left|t\right|}^{-1}$

ergibt. Wir erkennen hierin, dass tatsächlich immer $\chi >0$ gilt, d.h. der Gleichgewichtszustand stabil ist. Letzteres können wir auch aus der Tatsache erkennen, dass g im thermodynamischen Gleichgewicht ja ein Minium annehmen muss, d.h.

$0<\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{{\partial }^{2}g}{\partial m^2}\right)}_{y=0}=2at+12b{m}_0^2=\{\begin{array}{cc}-4at,& t<0\\ 2at,& t\ge 0\end{array}$

gelten soll, was ja auch tatsächlich der Fall ist, und somit zudem $\chi =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{V}{{\left(\frac{{\partial }^{2}g}{\partial m^2}\right)}_{y=0}}>0$ ist.

Durch Vergleich mit $\chi \underset{t\to 0}{\sim }{\left|t\right|}^{-\gamma }$ ergibt sich außerdem noch der kritische Exponent $\gamma =1$.

Im Folgenden setzen wir wieder das äußere Feld h gleich Null, dafür gelte aber $y\ne 0$, d.h. der Inhomogenitätsterm werde in der freien Enthalpie berücksichtigt. Wir betrachten jetzt kleine Abweichungen der freien Enthalpie vom Gleichgewichtszustand in $m_0$, in dem ja $0={\left(\frac{\partial g}{\partial m}\right)}_{T,P}\left(m_0\right)$ gilt:

$\mathrm{\Delta }g=g(m,T,P)-g_0(m_0,T,P)\approx \mathrm{\Delta }m\underset{=0}{\underbrace{{\left(\frac{\partial g}{\partial m}\right)}_{T,P}\left(m_0\right)}}+\frac{1}{2}{\left(\mathrm{\Delta }m\right)}^2\underset{=\frac{V}{\chi }}{\underbrace{{\left(\frac{{\partial }^{2}g}{\partial m^2}\right)}_{T,P}\left(m_0\right)}}=\frac{V{\left(\mathrm{\Delta }m\right)}^2}{2\chi }$

mit $\mathrm{\Delta }m=m-m_0$, worin wir außerdem noch die Suszeptibilität eingesetzt haben. Die Wahrscheinlichkeit w für Fluktuationen bei konstanten T und P ist einerseits proportional zu einem Boltzmannfaktor

$w\propto \exp (-\frac{\mathrm{\Delta }g}{k_B{T}_C})=\exp (-\frac{V}{2\chi k_B{T}_C}{\left(\mathrm{\Delta }m\right)}^2)\stackrel{!}{=}\exp (-\frac{{(\mathrm{\Delta }m-⟨\mathrm{\Delta }m⟩)}^2}{2⟨{\left(\mathrm{\Delta }m\right)}^2⟩})$

und erinnert andererseits an eine Gaußverteilung in $\mathrm{\Delta }m$ um den Mittelwert $⟨\mathrm{\Delta }m⟩=0$, d.h. $⟨m⟩=m_0$, mit einem mittleren Schwankungsquadrat $⟨{\left(\mathrm{\Delta }m\right)}^2⟩=\frac{\chi k_B{T}_C}{V}\underset{t\to 0}{\sim }{t}^{-1}$, weil ja für $\chi \underset{t\to 0}{\sim }{t}^{-1}$ gilt. D.h. je mehr sich die Temperatur ihrem kritischen Wert nähert (d.h. $t\to 0$), desto größer werden die Fluktuationen. Die Theorie ist nach dem sog. »Ginzburgkriterium« jedoch nur gut anwendbar, wenn die Fluktuationen vernachlässigt werden können, d.h. wenn ${⟨m⟩}^2\gg ⟨{\left(\mathrm{\Delta }m\right)}^2⟩=\frac{\chi k_B{T}_C}{V}$ gilt.

Die kleine Abweichung der freien Enthalpie vom Gleichgewichtszustand ist wegen $m_0=0$ für $T>T_C$, d.h. $\mathrm{\Delta }m=m-m_0=m$, unter Vernachlässigung des Terms $m^4$ außerdem gleich

$\mathrm{\Delta }g=g(m,T,P;\overrightarrow{r})-g_0(m_0,T,P;\overrightarrow{r})\approx at{\left(\mathrm{\Delta }m\right)}^2\left(\overrightarrow{r}\right)+y{\left(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left(\overrightarrow{r}\right)\right)}^2$.

Wir berücksichtigen jetzt räumliche Abhängigkeiten, so dass $\mathrm{\Delta }m$ eine Funktion des Ortes wird und $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Delta }m$ im Allg. nicht mehr verschwinden muss. Mittels einer Fourier-Transformation

$\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left(\overrightarrow{r}\right)=\int \frac{d^{3}k}{{\left(2\pi \right)}^{3/2}}\exp (i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}\stackrel{!}{=}{\left(\mathrm{\Delta }m\right)}^{\star }\left(\overrightarrow{r}\right)=\int \frac{d^{3}k}{{\left(2\pi \right)}^{3/2}}\exp (i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}){\left(\mathrm{\Delta }{m}_{-\overrightarrow{k}}\right)}^{\star }$

(wir haben hier ausgenutzt, dass $\mathrm{\Delta }m$ eine reelle Zahl sein muss und zudem die Ersetzung $\overrightarrow{k}\to -\overrightarrow{k}$ vorgenommen; aus der daraus folgenden Gleichung lässt sich somit $\mathrm{\Delta }{m}_{-\overrightarrow{k}}={\left(\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}\right)}^{\star }$ ablesen) wird aus $\mathrm{\Delta }g$:

$\left(\mathrm{\Delta }g\right)\left(\overrightarrow{r}\right)=\int \frac{d^{3}k{d}^3{k}^{\prime }}{{\left(2\pi \right)}^3}\exp (i(\overrightarrow{k}+{\overrightarrow{k}}^{\prime })\cdot \overrightarrow{r})(at+y{k}^2)\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}\mathrm{\Delta }{m}_{{\overrightarrow{k}}^{\prime }}$,

was wir über das Volumen integrieren, um die gesamte Abweichung der freie Enthalpie vom Gleichgewichtszustand zu erhalten:

$\mathrm{\Delta }G=\frac{1}{V}\int d^{3}x\left(\mathrm{\Delta }g\right)\left(\overrightarrow{r}\right)=\frac{1}{V}\int d^{3}k{d}^3{k}^{\prime }(at+y{k}^2)\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}\mathrm{\Delta }{m}_{{\overrightarrow{k}}^{\prime }}\underset{={\delta }^3(\overrightarrow{k}+{\overrightarrow{k}}^{\prime })}{\underbrace{\int \frac{d^{3}x}{{\left(2\pi \right)}^3}\exp (i(\overrightarrow{k}+{\overrightarrow{k}}^{\prime })\cdot \overrightarrow{r})}}$ $=\frac{1}{V}\int d^{3}k{d}^3{k}^{\prime }(at+y{k}^2)\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}\mathrm{\Delta }{m}_{{\overrightarrow{k}}^{\prime }}{\delta }^3(\overrightarrow{k}+{\overrightarrow{k}}^{\prime })$ $=\frac{1}{V}\int d^{3}k(at+y{k}^2)\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}\mathrm{\Delta }{m}_{-\overrightarrow{k}}$ $=\int d^{3}k(at+y{k}^2)\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}{\left(\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}\right)}^{\star }$ $=\frac{1}{V}\int d^{3}k(at+y{k}^2){\left|\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}\right|}^2$.

Vom Integral über den Impuls gehen wir zu einer Summe über, d.h. ersetzen $\int d^{3}k\to \sum _{\overrightarrow{k}}$:

$\mathrm{\Delta }G=\frac{1}{V}\sum _{\overrightarrow{k}}(at+y{k}^2){\left|\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}\right|}^2$,

um die Wahrscheinlichkeit für Fluktuationen auf ein Produkt von Gaußverteilungen zurückführen zu können:

$w\propto \exp (-\frac{\mathrm{\Delta }G}{k_B{T}_C})=\prod _{\overrightarrow{k}}\exp (-\frac{at+y{k}^2}{V{k}_B{T}_C}{\left|\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}\right|}^2)\stackrel{!}{=}\exp (-\frac{{|\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}-⟨\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}⟩|}^2}{2⟨{\left|\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}\right|}^2⟩})$.

D.h. $⟨\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}⟩=0$ und $⟨{\left|\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}\right|}^2⟩=\frac{V{k}_B{T}_C}{2(at+y{k}^2)}=\frac{V{k}_B{T}_C}{2y}\frac{1}{k^2+\frac{1}{{\xi }^2}}$ mit ${\xi }^2=\frac{y}{at}$. Hierauf wenden wir wieder eine Fouriertransformation an und setzen die Fourier-Umkehrtransformationen für $\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}=\int \frac{d^{3}x}{{\left(2\pi \right)}^{3/2}}\exp (-i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left(\overrightarrow{r}\right)$ ein

$\int \frac{d^{3}k}{{\left(2\pi \right)}^{3/2}}\exp (i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}){\left|\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}\right|}^2=\int \frac{d^{3}k}{{\left(2\pi \right)}^{3/2}}\exp (i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}\mathrm{\Delta }{m}_{-\overrightarrow{k}}$ $=\int \frac{d^3{x}^{\prime }{d}^3{x}^{\prime \prime }}{{\left(2\pi \right)}^{3/2}}\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left({\overrightarrow{r}}^{\prime }\right)\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left({\overrightarrow{r}}^{\prime \prime }\right)\int \frac{d^{3}k}{{\left(2\pi \right)}^3}\exp (-i\overrightarrow{k}\cdot ({\overrightarrow{r}}^{\prime }-{\overrightarrow{r}}^{\prime \prime }-\overrightarrow{r}))$ $=\int \frac{d^3{x}^{\prime }{d}^3{x}^{\prime \prime }}{{\left(2\pi \right)}^{3/2}}\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left({\overrightarrow{r}}^{\prime }\right)\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left({\overrightarrow{r}}^{\prime \prime }\right){\delta }^3({\overrightarrow{r}}^{\prime }-{\overrightarrow{r}}^{\prime \prime }-\overrightarrow{r})$ $=\int \frac{d^3{x}^{\prime }}{{\left(2\pi \right)}^{3/2}}\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left({\overrightarrow{r}}^{\prime }\right)\left(\mathrm{\Delta }m\right)({\overrightarrow{r}}^{\prime }-\overrightarrow{r})$.

Wenn außerdem noch die Zwei-Punkt-Korrelationsfunktion $\hat{G}\left(\overrightarrow{r}\right)$ nur vom Abstand der beiden Punkte abhängt, dann gilt

$⟨\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left({\overrightarrow{r}}^{\prime }\right)\left(\mathrm{\Delta }m\right)({\overrightarrow{r}}^{\prime }-\overrightarrow{r})⟩=⟨\left(\mathrm{\Delta }m\right)({\overrightarrow{r}}^{\prime }-({\overrightarrow{r}}^{\prime }-\overrightarrow{r}))\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left(0\right)⟩$ $=⟨\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left(\overrightarrow{r}\right)\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left(0\right)⟩=\hat{G}\left(\overrightarrow{r}\right)$.

Wenn wir den ortsabhängigen Ordnungsparameter über den Raum mitteln,

$\mathrm{\Delta }m=\frac{1}{V}\int d^{3}x\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left(\overrightarrow{r}\right)$,

erhalten wir für dessen mittleres Schwankungsquadrat

$⟨{\left(\mathrm{\Delta }m\right)}^2⟩=\frac{1}{V^2}\int d^3{x}^{\prime }\int d^3{x}^{\prime \prime }⟨\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left({\overrightarrow{r}}^{\prime }\right)\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left({\overrightarrow{r}}^{\prime \prime }\right)⟩$ $=\frac{1}{V^2}\int d^3{x}^{\prime }\int d^3{x}^{\prime \prime }⟨\left(\mathrm{\Delta }m\right)({\overrightarrow{r}}^{\prime }-{\overrightarrow{r}}^{\prime \prime })\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left(0\right)⟩$ $=\frac{1}{V}\int d^{3}x⟨\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left(\overrightarrow{r}\right)\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left(0\right)⟩$ $=\frac{1}{V}\int d^{3}x\hat{G}\left(\overrightarrow{r}\right)$.

Hieraus folgt u.a.

$⟨{\left(\mathrm{\Delta }m\right)}^2⟩=\frac{1}{V}\int d^{3}x\hat{G}\left(\overrightarrow{r}\right)=\frac{1}{V}\int d^{3}x⟨\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left({\overrightarrow{r}}^{\prime }\right)\left(\mathrm{\Delta }m\right)({\overrightarrow{r}}^{\prime }-\overrightarrow{r})⟩$,

was sich noch zusätzlich über ${\overrightarrow{r}}^{\prime }$ integrieren lässt. Setzen wir all diese Ergebnisse zusammen, dann resultiert daraus schließlich:

$V⟨{\left(\mathrm{\Delta }m\right)}^2⟩=\int d^3{x}^{\prime }⟨{\left(\mathrm{\Delta }m\right)}^2⟩=\int d^{3}x\hat{G}\left(\overrightarrow{r}\right)=\frac{1}{V}\int d^3{x}^{\prime }\int d^{3}x\hat{G}\left(\overrightarrow{r}\right)$ $=\frac{1}{V}\int d^3{x}^{\prime }\int d^{3}x⟨\left(\mathrm{\Delta }m\right)\left({\overrightarrow{r}}^{\prime }\right)\left(\mathrm{\Delta }m\right)({\overrightarrow{r}}^{\prime }-\overrightarrow{r})⟩$ $=\frac{1}{V}\int d^{3}x\int d^{3}k\exp (i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})⟨{\left|\mathrm{\Delta }{m}_{\overrightarrow{k}}\right|}^2⟩$ $=\frac{k_B{T}_C}{2y}\int d^{3}x\int d^{3}k\exp (i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})\frac{1}{k^2+\frac{1}{{\xi }^2}}\propto \int d^{3}x\frac{1}{r}{e}^{-\frac{r}{\xi }}$.

Dabei haben wir zuletzt ausgenutzt, dass

$\int \frac{d^{3}k}{{\left(2\pi \right)}^3}\exp (i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})\frac{1}{k^2+\frac{1}{{\xi }^2}}=\frac{1}{4\pi r}{e}^{-\frac{r}{\xi }}$

gilt (s. mathematische Ergänzungen Fouriertransformierte).

Hieraus erhalten wir also Aussagen zu räumliche Fluktuationen, wobei ein Korrelationsradius $\xi$ auftritt: $\hat{G}\left(r\right)\propto \frac{1}{r}{e}^{-\frac{r}{\xi }}\sim r^{-d+2-\eta }$. Weil $\xi \propto t^{-\frac{1}{2}}\underset{t\to 0}{\sim }{\left|t\right|}^{-\nu }$ ist der kritische Exponent $\nu =\frac{1}{2}$. Bei drei Dimensionen ($d=3$) muss zudem $\eta =0$ sein.

Die kritischen Exponenten der Landau-Theorie sind somit

$\alpha =0,\beta =\frac{1}{2},\delta =3,\gamma =1,\nu =\frac{1}{2},\eta =0$.