Statistische Mechanik/ Kritische Exponenten

In der Nähe einer kritischen Temperatur $T_C$, bei der ein Phasenübergang stattfindet, nehmen thermodynamische Größen wie die spezifische Wärmekapazität $C_{V/P}=T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_{V/P}\underset{t\to 0,t>0}{\sim }{t}^{-\alpha }$, die Magnetisierung $m\underset{t\to 0,t<0}{\sim }{(-t)}^{\beta }\sim h^{\frac{1}{\delta }}$, magnetische Suszeptibilität $\chi \underset{t\to 0}{\sim }{\left|t\right|}^{-\gamma }$, die Korrelationsradius $\xi \underset{t\to 0}{\sim }{\left|t\right|}^{-\nu }$ und die Korrelationsfunktion $\hat{G}\left(r\right)\underset{t\to 0}{\sim }{r}^{-d+2-\eta }$ charakteristische Exponentialgesetze als Funktionen der Temperaturdifferenz $t=T-T_C\to 0$, eines magnetischen Feldes h oder eines Abstandes r an. Die darin vorkommenden Exponenten heißen kritische Exponenten. Später zeigen wir noch, dass die kritischen Exponenten voneinander folgendermaßen abhängen:

$2\beta +\gamma =2-\alpha =d\cdot \nu$, $(2-\eta )\nu =\gamma =\beta (\delta -1)$,

worin die Gleichung $2-\alpha =d\cdot \nu$ Hyperskalenrelation genannt wird und d die Dimension des Systems ist, während die ersten beiden Gleichungen als Folge einer Skalenrelation angesehen werden.