Statistische Mechanik/ Fermi-Dirac-Statistik

Wenn eine Vielteilchen-Wellenfunktion bei Permutation von zwei Teilchenpositionen ihr Vorzeichen ändert, so hat man eine Wellenfunktion für Fermionen; also wenn z.B. im Falle von einem Zweiteilchensystem $\psi (x_1,x_2)=-\psi (x_2,x_1)$ gilt, hat man eine Fermionen-Wellenfunktion. Für diese Fermionen-Wellenfunktion gilt dann speziell $\psi(x,x) = - \psi(x,x)$, woraus $\psi (x,x)=0$ folgt. In anderen Worten: Ein und derselbe Ortszustand darf nicht zweimal oder mehrfach besetzt werden, die Wellenfunktion und damit Wahrscheinlichkeitsdichte wäre in diesem Falle Null. Generell gilt bei Fermionen das Pauli'sche Ausschlussprinzip: Ein bestimmter Quantenzustand darf immer nur von einen einzigen Fermion besetzt werden! Fermionen haben immer halbzahligen Spin. Alle Elementarteilchen, die Materie aufbauen, sind Fermionen. Beispiele für Fermionen sind:

• Elektronen
• Neutrinos
• Quarks (Bestandteile der Protonen und Neutronen)
• Teilchen, die aus einer ungeradzahligen Anzahl von Elementarteilchen aufgebaut sind, dazu gehören auch etwa Neutronen und Protonen, da beide aus 3 Quarks bestehen

Sei das Spektrum von Energieeigenwerten eines Vielfermionensystems durch $E_0,E_1,E_2\dots$ gegeben, so gilt für den Hamiltonoperator im Falle von nichtwechselwirkenden Fermionen:

$\hat{H}=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_i{\hat{N}}_i$.

Die Zustandssumme für ein ideales, nichtwechselwirkendes Fermionensystem lautet (mögliche Fermionenzustände gibt es nur zwei: unbesetzt ($N_i=0$) und besetzt ($N_i=1$)):

$Z(\beta ,\mu )=Tr(e^{-\beta (\hat{H}-\mu \sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\hat{N}}_i)})=\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{N_i=0}^1{e}^{-\beta (E_i-\mu )N_i}=\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(1+e^{-\beta (E_i-\mu )})$.

Daraus lässt sich leicht die Anzahl der Teilchen berechnen:

$<\hat{N}>=\frac{1}{\beta }\frac{\partial lnZ}{\partial \mu }=\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial \mu }\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}ln(1+e^{-\beta (E_i-\mu )})=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-\beta (E_i-\mu )}}{1+e^{-\beta (E_i-\mu )}}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}<{\hat{N}}_i>$.

Für den Erwartunswert der Besetzungszahl im i-ten Zustand gilt für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik:

$<{\hat{N}}_i>=\frac{1}{e^{\beta (E_i-\mu )}+1}$.