Statistische Mechanik/ Fakultäten

In der statistischen Mechanik bedient man sich oft Abzählalgorithmen aus der Kombinatorik. Dadurch entstehen meist recht unhandliche Ausdrücke mit Fakultäten. Um diese handhaben zu können, werden Näherungsformeln benötigt. Eine erste solche Approximation erhält man, indem die Fakultät z.B. einer (natürlichen) Zahl n zunächst (z.B. zur Basis der Euler'schen Zahl e) logarithmiert ,

$n!=\stackrel{n}{\underset{x=1}{\mathrm{\Pi }}}x\Rightarrow \ln n!=\stackrel{n}{\sum _{x=1}}\ln x$,

und dann für Zahlen $n\gg 1$ die entstandene Summe durch ein Integral ersetzt wird:

$\ln n!=\stackrel{n}{\sum _{x=1}}\ln x\approx \stackrel{n}{\underset{1}{\int }}dx\ln x={x\ln x|}_1^n-\stackrel{n}{\underset{1}{\int }}dxx\cdot \frac{1}{x}=$. $n\ln n-n+1\approx n\ln n-n$.

Wir haben dabei einmal partiell integriert (mit $u^{\prime }=1\Rightarrow u=x$ und $v=\ln x\Rightarrow v^{\prime }=\frac{1}{x}$). Diese Näherung werden wir in den meisten Fällen zu Rate ziehen. Doch gelegentlich wird eine noch etwas bessere Approximation der Fakultät benötigt. Hierzu gehen wir von der Darstellung der Fakultät mittels der Gammafunktion aus:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{0}{\int }}dx{x}^n{e}^{-x}=\underset{\to 0,n\ge 1}{\underbrace{{-x^n{e}^{-x}|}_0^{\mathrm{\infty }}}}+n\underset{=\mathrm{\Gamma }\left(n\right)}{\underbrace{\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{0}{\int }}dx{x}^{n-1}{e}^{-x}}}=n\mathrm{\Gamma }\left(n\right)$,

wobei wir wieder einmal partiell integriert (mit $u=x^n\Rightarrow u^{\prime }=n{x}^{n-1}$ und $v^{\prime }=e^{-x}\Rightarrow v=-e^{-x}$) und $n\ge 1$ vorausgesetzt haben. Für $n=0$ erhalten wir

$\mathrm{\Gamma }\left(1\right)=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{0}{\int }}dx{e}^{-x}={-e^{-x}|}_0^{\mathrm{\infty }}=1$.

Wegen dieser Regeln für die Gammafunktion, gilt folgender Zusammenhang zwischen ihr und der Fakultät:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }\left(n\right)=(n-1)\mathrm{\Gamma }(n-1)=...=(n-1)(n-2)...2\cdot 1\cdot \underset{=1}{\underbrace{\mathrm{\Gamma }\left(1\right)}}=n!$.

Mit Hilfe der Gammafunktion können wir jetzt die Näherung der Fakultät verbessern. Hierzu beachten wir, dass sich der Integrand der Gammafunktion interessanterweise auch wie folgt schreiben lässt:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{0}{\int }}dx{x}^n{e}^{-x}=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{0}{\int }}dx\exp (n\ln x-x)$.

Der Exponent im Integranden, $f\left(x\right)=n\ln x-x$, ähnelt dabei bereits der Fakultät in niedrigster Näherung: $n!\approx f\left(n\right)$. Daher werden wir jetzt den Exponenten $f\left(x\right)$ in x um n (per Taylor) entwickeln, wozu wir $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{n}{x}-1$ und $f^{\prime \prime }\left(x\right)=-\frac{n}{x^2}$ benötigen:

$f\left(x\right)\approx f\left(n\right)+(x-n)f^{\prime }\left(n\right)+\frac{1}{2}{(x-n)}^2{f}^{\prime \prime }\left(n\right)=n\ln n-n-\frac{1}{2n}{(x-n)}^2$.

Da offensichtlich $f^{\prime }\left(n\right)=0$ und $f^{\prime \prime }\left(n\right)=-\frac{1}{n}<0$ gilt, haben wir somit den Exponenten des Integranden der Gammafunktion um sein Maximum herum entwickelt. Somit haben wir aber natürlich auch den Integranden (d.h. die Exponentialfunktion von $f\left(x\right)$) selbst um sein Maximum entwickelt: Er, d.h. $x^n{e}^{-x}$, besitzt also (im betrachteten Integrationsbereich) ein ausgeprägtes Maximum um $x=n$. Somit gilt näherungsweise:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{0}{\int }}dx\exp (n\ln x-x)\approx \exp \left((n\ln n-n)\right)\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{0}{\int }}dx\exp (-\frac{1}{2n}{(x-n)}^2)=$ $\exp \left((n\ln n-n)\right)\sqrt{2n}\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{-\sqrt{\frac{n}{2}}\underset{n\gg 1}{⟶}-\mathrm{\infty }}{\int }}dy{e}^{-y^2}$,

worin wir zuletzt die Substitution $y=\frac{x-n}{\sqrt{2n}}$ verwendet und zudem ausgenutzt haben, dass die untere Integrationsgrenze für große n gegen negativ Unendlich geht. Den Wert des letzteren Integrals, d.h. $I=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\int }}dy{e}^{-y^2}$, können wir über folgenden Trick bestimmen:

$I^2={\left(\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\int }}dy{e}^{-y^2}\right)}^2=\left(\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\int }}dy{e}^{-y^2}\right)\left(\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\int }}dx{e}^{-x^2}\right)=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\int }}dx\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\int }}dy{e}^{-(x^2+y^2)}$,

worin wir jetzt Polarkoordinaten einführen werden: $x=\rho \cos \phi$, $y=\rho \sin \phi$, wodurch ${\rho }^2=x^2+y^2$ gilt, mit $0\le \rho <\mathrm{\infty }$ und $0\le \phi \le 2\pi$, so dass sich für die Jacobi-Determinate $\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\phi )}=\left|\begin{array}{cc}\cos \phi & \sin \phi \\ -\rho \sin \phi & \rho \cos \phi \end{array}\right|=\rho$ ergibt. Daher erhalten wir für $I^2$:

$I^2=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\int }}dx\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\int }}dy{e}^{-(x^2+y^2)}=\stackrel{2\pi }{\underset{0}{\int }}d\phi \stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{0}{\int }}d\rho \rho e^{-{\rho }^2}=2\pi \stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{0}{\int }}d\rho \rho e^{-{\rho }^2}$.

Mittels der Substitution $\xi ={\rho }^2\Rightarrow d\xi =2\rho d\rho$ vereinfacht sich dieses Integral zu:

$I^2=2\pi \stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{0}{\int }}d\rho \rho e^{-{\rho }^2}=\pi \stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{0}{\int }}d\xi e^{-\xi }=\pi$.

D.h. es gilt: $I=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\int }}dy{e}^{-y^2}=\sqrt{\pi }$, woraus schließlich folgende Näherung für die Gammafunktion bzw. die Fakultät resultiert:

$n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)\approx \exp \left((n\ln n-n)\right)\sqrt{2\pi n}=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$,

die sich also von der schlechteren Näherung im Wesentlichen nur um den Faktor $\sqrt{n}$ unterscheidet, der aber oft gegenüber dem schnell anwachsenden Term $n^n$ vernachlässigt werden kann. Die beiden Näherungsformeln für die Fakultät sind als »Stirling-Formeln« bekannt.

Nicht selten werden Integrale der Form

$\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\int }}dx{x}^{2n}{e}^{-x^2}=2\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{0}{\int }}dx{x}^{2n}{e}^{-x^2}=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{0}{\int }}d\xi {\xi }^{\frac{2n-1}{2}}{e}^{-\xi }=\mathrm{\Gamma }\left(\frac{2n+1}{2}\right)$

zu bestimmen sein, wobei wir hier die Substitution $\xi =x^2\Rightarrow dx=\frac{1}{2}{\xi }^{-\frac{1}{2}}d\xi$ und schließlich die Definition der Gamma-Funktion verwendet haben. Den Wert dieses Integrals für $n=0$ haben wir bereits oben ermitteln:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\stackrel{\mathrm{\infty }}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\int }}dx{e}^{-x^2}=\sqrt{\pi }$.

Den Wert der Integrale für $n>1$ können wir wieder mit Hilfe der Rekursionsformel für die Gammafunktion angeben:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{2n+1}{2}\right)=\mathrm{\Gamma }(\frac{2n-1}{2}+1)=\frac{2n-1}{2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{2n-1}{2}\right)=...=\frac{2n-1}{2}\cdot \frac{2n-3}{2}...\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)$

und haben somit den Begriff der Fakultät sogar noch ein wenig verallgemeinert.