Statistische Mechanik/ Exponentialfunktion

Es soll nun gezeigt werden, dass folgende Limesbildung zu einer Exponentialfunktion führt:

${(1-\frac{\mu }{N})}^N\underset{N\to \mathrm{\infty }}{⟶}{e}^{-\mu }$.

Hierzu schreiben wir zunächst die Folge durch Einführen der Variable $x=-\frac{\mu }{N}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{⟶}0$etwas um:

${(1-\frac{\mu }{N})}^N=\exp (N\ln (1-\frac{\mu }{N}))=\exp (-\mu [-\frac{N}{\mu }\ln (1-\frac{\mu }{N})])$ $=\exp (-\mu \frac{\ln (1+x)}{x})$.

Der Exponent enthält eine Funktion in Form eines Quotienten, der bei der Grenzwertbildung $x\to 0$ vom Typ »\frac{0}{0}« ist. Daher dürfen wir darauf die »Regel von Hospital« anwenden, d.h. wir leiten sowohl den Zähler als auch den Nenner der Funktion nach der Variablen x ab und bilden davon den Limes:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{d}{dx}\ln (1+x)}{\frac{d}{dx}x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{1+x}=1$.

Hieraus folgt wiederum die Behauptung:

$\underset{N\to 0}{\lim }{(1-\frac{\mu }{N})}^N=\exp (-\mu \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x})=e^{-\mu }$.