Statistik: Test auf Erwartungswert

Erwartungswert

1. Bekannte Verteilung und Varianz

Im einführenden Beispiel war die Art der Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit bekannt, namentlich eine Normalverteilung mit bekannter Varianz. Die Prüfgröße

$z=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$

ist dann unter der Nulhypothese μ = μ₀ standardnormalverteilt. Wir erhalten die Entscheidungsregeln für eine gewählte Irrtumswahrscheinlichkeit α

• Ho: μ = μ₀ wird abgelehnt, falls z < - z(1-α/2) oder z > z(1-a/2) ist.
• Ho: μ ≤ μ₀ wird abgelehnt, falls z > z(1-α) ist.
• Ho: μ ≥ μ₀ wird abgelehnt, falls z < - z(1-α) ist.

2. Bekannte Verteilung und unbekannte Varianz

Häufig wird neben dem Erwartungswert die Varianz ebenfalls nicht bekannt sein, so dass man statt der Varianz in der Grundgesamtheit die Schätzung

${\hat{\sigma }}^2=s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$

verwendet. Wir erhalten nun bei normalverteilter Grundgesamtheit statt z die Prüfgröße

$t=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}},$

die t-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden ist.

Die t-Verteilung hat eine ähnliche Form wie die Normalverteilung. In der hier betrachteten Art (zentrale t-Verteilung) ist sie ebenfalls symmetrisch bezüglich der Null. Da sie verschiedene Freiheitsgrade hat, ist sie nur für ausgewählte Quantile tabelliert. Es ist t(p;k) das p-Quantil der t-Verteilung mit k Freiheitsgraden.

Es gilt beispielsweise für die Zufallsavariable t mit 5 Freiheitsgraden:

$P(t\le 3,365)=0,99$ bzw. $t(0,99;5)=3,365$.

Wir erhalten die Entscheidungsregeln

• H: μ = μ₀ wird abgelehnt, falls t < - t(1-α/2; n - 1) oder t > t(1-α/2; n - 1) ist.
• H: μ ≤μ₀ wird abgelehnt, falls t > t(1-α; n - 1) ist.
• H: μ ≥ μ₀ wird abgelehnt, falls t < - t(1-α; n - 1) ist.

Ist n > 30, können die Quantile der t-Verteilung durch die entsprechenden Quantile der Normalverteilung ersetzt werden.

3. Unbekannte Verteilung und bekannte Varianz

Ist die Verteilung des Merkmals X unbekannt, aber die Varianz varX bekannt, verwendet man bei einem n > 30 die standardnormalverteilte Prüfgröße

$z=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\frac{\sqrt{varX}}{\sqrt{n}}}$

Wir erhalten die Entscheidungsregeln analog zu 1.

4. Unbekannte Verteilung und unbekannte Varianz

Sind Verteilung und Varianz des Merkmals X in der Grundgesamtheit unbekannt, verwendet man für n > 50 die standardnormalverteilte Prüfgröße

$z=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$

Wir verwenden die Entscheidungsregeln analog zu 1.

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