Statistik: Poissonverteilung

Wir betrachten eine poissonverteilte Zufallsvariable X mit den Ausprägungen 0, 1, 2, ....

Typische Beispiele für eine poissonverteilte Zufallsvariable sind:

• Es betreten in einer Minute durchschnittlich λ = 2 Kunden einen Kassenschalter. Wir definieren als X: Zahl der Kunden, die während einer bestimmten Minute an den Bankschalter kommen.
• Die Studentin Paula kauft sich in der Cafeteria ein Stück Rührkuchen. Wir definieren als X: Zahl der Rosinen in diesem Kuchenstück. Der Bäcker rechnet bei 20 Stück Kuchen mit 100 Rosinen. X ist also poissonverteilt mit dem Parameter λ = 5.
• Wir definieren als X: Zahl der Schadensfälle einer Versicherung im nächsten Jahr. Man weiß, daß pro Jahr durchschnittlich 500.000 Schadensfälle auftreten. Der Parameter ist hier λ = 500.000.

Man geht also typischerweise von den folgenden Fragestellungen aus: Anzahl des Auftretens eines Phänomens in einer Zeit- , Gewichts- oder sonstigen Einheit. Die Zufallsvariable X ist poissonverteilt mit dem Parameter λ.

Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet ($\lambda >0$)

$P(X=x)=p(x|\lambda )=\{\begin{array}{cc}\frac{e^{-\lambda }\cdot {\lambda }^x}{x!}& \text{ für x = 0, 1, ... }\\ 0& \text{ sonst}\end{array}$

Die Verteilungsfunktion P(X≤a) = Px(a|λ) ergibt sich als Summe der Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsvariablen, wie in Zufallsvariablen oder Diskrete Zufallsvariablen erläutert.

Es gilt bei der Poissonverteilung: EX = varX = λ.

Die Poissonverteilung ist reproduktiv: Eine Summe von n stochastisch unabhängigen poissonverteilten Zufallsvariablen X_i (i = 1, ... , n), mit jeweils dem Parameter λ_i, ist wiederum poissonverteilt, und zwar mit dem Parameter

$\lambda =\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$

Beispiel:

Von den mundgeblasenen Gläsern einer Glashütte ist bekannt, dass im Durchschnitt 0,2 Fehler pro Glas auftreten.

Es ist die diskrete Zufallsvariable X: „Die Zahl der Unreinheiten in einem Glas“ annähernd poissonverteilt:

$X\to p(x|0,2)$ .

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Glas genau einen Fehler?

$P(X=1)=\frac{e^{-0,2}\cdot 0,2^1}{1!}=0,2\cdot e^{-0,2}=0,1637$

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Glas mindestens zwei Fehler?

$P(X\ge 2)=1-P(X\le 1)=1-(\frac{e^{-0,2}\cdot 0,2^0}{0!}+\frac{e^{-0,2}\cdot 0,2^1}{1!})$

$=1-e^{-0,2}-0,1637=1-0,8187-0,1637=0,0175.$

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthalten drei Gläser zusammen mindestens zwei Fehler? Man geht davon aus, dass die Fehler der Gläser stochastisch unabhängig sind.

Man definiert als neue Zufallsvariable Y = X₁ + X₂ + X₃, mit X₁ als Zahl der Fehler des ersten Glases usw. Es ist dann ${\lambda }_y=0,2+0,2+0,2=0,6$ und

$P(Y\ge 2)=1-P(Y\le 1)=1-(\frac{e^{-0,6}\cdot 0,6^0}{0!}+\frac{e^{-0,6}\cdot 0,6^1}{1!})$

$=1-(e^{-0,6}+0,6\cdot e^{-0,6})=0,1219.$

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