Serlo: EN: Exp and log functions for complex numbers

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Exponentialfunktion in den komplexen Zahlen

Wir haben die Exponentialfunktion $\exp :ℂ\to ℂ,x\mapsto \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}$ für komplexe Eingabewerte definiert. Jedoch haben wir sie bisher nur für reelle Eingabewerte genauer untersucht. Das Ziel dieses Abschnitts ist daher die Untersuchung der komplexen Exponentialfunktion.

Sei $z=a+\mathrm{i}b$ eine komplexe Zahl mit $a,b\in ℝ$. Die Funktionalgleichung erlaubt es uns, $e^z=e^{a+\mathrm{i}b}=e^a{e}^{\mathrm{i}b}$ zu schreiben.

Der erste Faktor, $e^a$, ist eine positive reelle Zahl. Es scheint zunächst nicht klar, wie der Faktor $e^{\mathrm{i}b}$ zu interpretieren ist.

Eulersche Formel

Wir leiten in diesem Abschnitt die Eulersche Formel her. Sie besagt, dass für alle reellen Zahlen $x$ folgende Gleichung erfüllt ist: $e^{\mathrm{i}x}=\cos (x)+\mathrm{i}\sin (x)$.

Wir können so den Betrag von $e^{\mathrm{i}x}$ für $x\in ℝ$ berechnen: Vorlage:Einrücken

Das ist aber nicht der Grund, weshalb diese Gleichung so wichtig ist. Dieses Ergebnis hätten wir auch anders erhalten können: Vorlage:Einrücken

Euler's formula

Die Bedeutung der Eulerschen Formel liegt darin, dass sie explizit den Real- und Imaginärteil der Zahl $e^{\mathrm{i}x}$ angibt, die wir besser verstehen wollen. So können wir $e^{\mathrm{i}x}$ leicht in der Gaußschen Zahlenebene einzeichnen.

Für alle $x\in ℝ$ liegt $e^{\mathrm{i}x}$ auf dem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene.

In dieser Animation kann man sehen, wie sich der Punkt $e^{\mathrm{i}x}$ auf dem Einheitskreis mit wachsendem $x$ bewegt.

F(t)=exp(it)

Als Nächstes beweisen wir die Eulersche Formel. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Polarkoordinaten für komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl in der Gaußschen Zahlenebene kann man auffassen als Punkt im ${ℝ}^2$ mit den Koordinaten $(\mathrm{Re}z,\mathrm{Im}z)$. Die Zahl $z$ kann man auch anders beschreiben: Sie liegt auf dem Kreis mit dem Radius $r=|z|$ um den Ursprung und die Verbindungslinie zwischen der Zahl $z$ in der Gaußschen Zahlenebene und dem Ursprung schließt mit der Halbgerade der positiven reellen Achse einen Winkel $\phi$ ein. Durch $r$ und $\phi$ ist die Zahl $z$ eindeutig bestimmt.

Die Eulersche Formel besagt, dass für alle reellen Zahlen $\phi$ folgende Gleichung erfüllt ist: $e^{\mathrm{i}\phi }=\cos (\phi )+r\cdot \mathrm{i}\sin (\phi )$. Die Zahl $e^{\mathrm{i}\phi }$ entspricht der komplexen Zahl auf dem Einheitskreis mit Winkel $\phi$ zur positiven reellen Achse. Multiplizieren wir diese Zahl mit einer Zahl $r\in {ℝ}_0^{+}$, so erhalten wir $r{e}^{\mathrm{i}\phi }$. Das ist genau die komplexe Zahl $z$, die wir oben durch $r$ und $\phi$ beschrieben haben.

Ist eine komplexe Zahl $z$ in Polarkoordinaten gegeben, also $z=r{e}^{\mathrm{i}\phi }$, so können wir diese leicht in die Darstellung in kartesischen Koordinaten ($a+\mathrm{i}b$) umrechnen: Vorlage:Einrücken

Sei umgekehrt eine komplexe Zahl in kartesischen Koordinaten gegeben, d.h. $z=a+\mathrm{i}b$. Wie können wir diese in Polarkoordinaten darstellen?

Den Betrag der Zahl zu berechnen ist einfach: $r=\sqrt{a^2+b^2}$. Schwieriger ist hingegen der Winkel $\phi$. Wir müssen eine reelle Zahl $\phi$ suchen, für die $a=r\cdot \cos \phi$ und $b=r\cdot \mathrm{i}\cdot \sin \phi$ gilt. Für einfache Beispiele, ist es oft am leichtesten eine Skizze zu machen und anhand der Skizze den Winkel $\phi$ zu bestimmen. Man kann $\phi$ auch mit folgender Formel berechnen: $\phi =\{\begin{array}{cc}& +\arccos \frac{x}{r}\text{für}y\ge 0\\ & -\arccos \frac{x}{r}\text{für}y<0\end{array}$

Logarithmusfunktion in den komplexen Zahlen

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