Quantenmechanik/ H-Atom-Spektrum

Spektrum des Wasserstoff-Atoms

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung mit dem zentralsymmetrischen Coulomb-Potenzial $V(r)=\frac{-Z{e}^2}{r}$ soll auf gebundene Zustände abgeklopft werden, also Energie-Eigenwerte $E<0$. Weil der Operator ${\overrightarrow{p}}^2$ auch rotations-symmetrisch ist, zerfallen die Lösungen in Produkte

$\psi (\overrightarrow{x})\propto Y_m^{\ell }(\theta ,\varphi )u(r)/r$.

Allgemein profitiert die Physik gern von Symmetrien, um Differenzialgleichungen mit entsprechend angepassten Koordinaten in Faktoren zu zerlegen.

Die Funktion u(r) gehorcht der radialen Schrödinger-Gleichung:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^{2}u}{d{r}^2}+[-\frac{Z{e}^2}{r}+\frac{\ell (\ell +1){\hslash }^2}{2m{r}^2}]u=Eu$

Das sieht aus wie ein anziehendes Potenzial bei $r=0$ plus ein abstoßendes für $\ell >0$, hervorgerufen von der Zentrifugalkraft bei Drehbewegung.

Der störende Faktor vor der zweiten Ableitung wird mit der Definition $E=-\frac{{\hslash }^2{g}^2}{2m};g>0$ hinweg dividert:

$-\frac{d^{2}u}{d{r}^2}+[-\frac{2mZ{e}^2}{r{\hslash }^2}+\frac{\ell (\ell +1)}{r^2}]u=-g^{2}u$.

Jetzt noch eine dimensionslose Länge $x:=gr$ so einbauen, dass der Energie- Eigenwert genau 1 wird!

$\overline{u}(x)=u(r)$ als Funktion von x werde wieder mit u bezeichnet. Dann folgt mit $z:=\frac{2mZ{e}^2}{g{\hslash }^2}$ :

$-u^{″}+[-\frac{z}{x}+\frac{\ell (\ell +1)}{x^2}]u=-u$

Nahe bei $x=0$ divergiert der Operator $u\mapsto -u^{″}+\frac{\ell (\ell +1)}{x^2}u$. Der wirft das Monom $u\propto x^{\ell +1}$ auf Null. Bei x gegen Unendlich dominiert die Gleichung $u^{″}=u$, gelöst als $u(x)=\propto e^{-x}$.

Der Trick ist nun, diese zwei Randterme als Faktoren von u abzuspalten und auf angenehmere Gleichungen zu hoffen.

Ansatz: mit $u(x)=x^{\ell +1}\exp (-x)f(x)$ eine Gleichung für $f(x)$ schreiben.

$u^{\prime }=x^{\ell +1}\exp (-x)[(\frac{\ell +1}{x}-1)f+f^{\prime }]$

$u^{″}=x^{\ell +1}\exp (-x)[(1-\frac{2(\ell +1)}{x}+\frac{\ell (\ell +1)}{x^2})f+(-2+\frac{2(\ell +1)}{x}{f}^{\prime }+f^{″}]$

Dann ergibt sich folgendes für f:

$f^{″}-2(1-\frac{\ell +1}{x})f^{\prime }+\left(\frac{z-2\ell -2}{x}\right)f=0$

Versuchen wir eine Potenzreihe $f=\sum _i{a}_i{x}^i$ , wo $a_0\ne 0$ angenommen wird um in $u(x)$ genau die Potenz $x^{\ell +1}$ beim Nullpunkt zu bewahren.

$\sum _{i\ge 0}{a}_i[i(i-1)x^{i-2}-2i{x}^{i-1}+2i(\ell +1)x^{i-2}+(z-2\ell -2)x^{i-1}]=0$

In der eckigen Klammer sind zwei Potenzen von x. Indexieren wir den ersten und dritten Term so um, dass immer dieselbe Potenz dasteht: $k=i-1;i=k+1$

$\sum _{i\ge 0}{a}_i{x}^{i-1}[-2i+(z-2\ell -2)]+\sum _{k\ge 0}{a}_{k+1}{x}^{k-1}[(k+1)k+2(k+1)(\ell +1)]=0$

Ein Term k=-1 ist unnötig, er entfällt wegen der Faktoren (k+1). Also

$\sum _{k\ge 0}{x}^{k-1}[a_{k+1}(k+1)(k+2\ell +2)+a_k(z-2k-2\ell -2)]=0$

Alle Koeffizienten dieser Potenzreihe müssen einzeln verschwinden. Es folgt eine Rekursionsgleichung für die Reihe $\{a_k\}$ :

$(k+2\ell +2)(k+1)a_{k+1}=(-z+2k+2\ell +2)a_k$

Der erste Faktor verschwindet nie für $k=0,1,2,\dots$, daher kann mit beliebig festgelegtem Anfangswert $a_0$ die Reihe hingeschrieben werden. Die Tendenz bei großem $k$ wäre: $k{a}_{k+1}=2a_k$. Unangenehm exponentielles Wachstum.

Die Rettung kommt mit dem unbekannten $z$, worin sich über das unbekannte $g$ der gesuchte Energie-Eigenwert versteckt. Wenn irgendwann $(-z+2k+2\ell +2)=0$ wird, bricht die Reihe nach $a_k$ ab und die Lösung ist ein Polynom. Das gesuchte z ist eine gerade ganze Zahl. Wir quantisieren.

Definiere $z=2n;n\ge (\ell +1)$. Grad des Polynoms $k=n-(\ell +1)$. Konventionell heißen diese Lösungen die Laguerre-Polynome.

$f(x)=L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(2x)$ löst den Fall $(n,\ell )$. Unnormiert:

$n=\ell +1:f=1$

$n=\ell +2:f=1-x/(\ell +1)$

$z=2n$ ergibt für den Eigenwert dies, unabhängig von $\ell$:

$g(n)=\frac{2mZ{e}^2}{z{\hslash }^2}=\frac{1}{na}$

Der Bohrsche Radius ist $a=\frac{{\hslash }^2}{mZ{e}^2}=(0,053\text{nm})/Z$.

Die Wellenfunktion $u(r)/r$ hat einen Faktor $\exp (-r/na)$. Sie ist recht gut in einer Kugel vom Radius $na$ gefangen.

Die Energien der gebundenen Zustände hängen von n, nicht von $\ell$, ab.

$E_n=-\frac{{\hslash }^{2}g(n{)}^2}{2m}=-\frac{{\hslash }^2}{2m{a}^2{n}^2}=-\frac{m{Z}^2{e}^4}{2{\hslash }^2{n}^2}=-(13,6\text{eV})(Z^2/n^2)$

Diese Formel wurde bereits am Bohrschen Atommodell gefunden und stimmt recht gut für die Spektren der Atome und Ionen mit nur einem Elektron.

Für vorgegebene Hauptquantenzahl n kann $\ell$ die Werte von 0 bis n-1 haben. Für jeden Drehimpuls $\ell$ gibt es eine Basis von $(2\ell +1)$ Werten von m. Daher ist die Energie entartet mit der totalen Zahl von Zuständen

$N(E_n)=\sum _{\ell =0}^{n-1}(2\ell +1)=2\frac{n(n-1)}{2}+n=n^2$.

Die Zustände heißen nach alter Tradition wie folgt:

$\begin{array}{ccc}n=1& \ell =0& 1s\\ n=2& \ell =0,1& 2s,2p\\ n=3& \ell =0,1,2& 3s,3p,3d\\ n=4& \ell =0,1,2,3& 4s,4p,4d,4f\end{array}$

Einige Wahrscheinlickeitsverteilungen zu solchen stationären Zuständen, berechnet als (Radialfunktion mal Kugelfunktion) zum Quadrat, sind hier Unsere Quantenwelt abgebildet.

Anhang

Python-Schnipsel für Polynom-Koeffizienten (nicht normiert)

def division(p,q) : # to print integer fractions
  def hasfact(x,z) : return (x>0) and ((x % z)==0)
  def div(p,q) : return int(p/q)
  pn=[2,3,5,7,11,13,17,19,23]; ln= len(pn) # small prime nbrs
  p,q,s = (abs(p),abs(q),-1) if ((p*q)<0) else (abs(p),abs(q),1) 
  for i in range(ln) :
    z=pn[i]
    while hasfact(p,z) and hasfact(q,z) : p=div(p,z); q=div(q,z)
  return s*p,q

def laguerre() : # coeffs of radial hydrogen atom polyns
  # n=1,2,3,4, l=0..n-1, a0=1. 
  for n in range(1,5+1) :
    for l in range(n) :
      j=2*l+2; k=0; p=1; q=1; t=''
      while p != 0 :
        p,q= division(p,q)
        t += ' '+ (str(p) if(q==1) else (str(p)+'/'+str(q)))
        q *= (k+1)*(k+j); p *= (-2*n+2*k+j); k+=1 
      print('n='+str(n)+' l='+str(l)+' '+t)

Symmetrie des Laplace-Operators

In diesem Abschnitt wird die Kugelsymmetrie ausgenutzt und ein vollstændiges Orthonormalsystem von Eigenfunktionen $Y_{\ell m}$ aufgebaut, die auf der Einheitskugel definiert sind. Ihre Fortsetzungen auf ${ℝ}^3$ lösen die Potenzialgleichung $\mathrm{\Delta }Y=0$, sind die Null-Eigenfunktionen des Laplace-Operators. Dieses Stück Angewandte Mathematik gilt auch anderswo als in der Quantenmechanik, daher hier alles ohne den Faktor $\hslash$. Das Rechnen mit Differenzialoperatoren besteht im Wesentlichen daraus, die Produktregel zu nutzen.

Der hermitesche Operator $\mathrm{\Delta }$,

$(\mathrm{\Delta }f)(x)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_3^2}=(\underset{1}{\overset{2}{\partial }}+\underset{2}{\overset{2}{\partial }}+\underset{3}{\overset{2}{\partial }})f(x)$

ist invariant bei Drehungen um das Zentrum, das heißt

$\mathrm{\Delta }f(\overrightarrow{x})=g(\overrightarrow{x})\Rightarrow \{\mathrm{\Delta }{f}^{\prime }=g^{\prime };f^{\prime }(x)=f(Rx);g^{\prime }(x)=g(Rx)\}$ für alle Rotationen.

Man kann erst drehen, dann differenzieren, oder differenzieren vor der Drehung, mit gleichem Ergebnis.

Sei $R(t)$ eine stetig differenzierbare Familie von z. B. Rotationsmatrizen mit $R(0)=\mathrm{𝟏}$. Dann ist

$(Lf)(x):=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}f(R(t)x)=\sum _k{\lambda }_k(x){\partial }_{k}f(x)$ ein Ableitungsoperator in Richtung Vektorfeld

${\lambda }_k$. Anwendung auf $\{\mathrm{\Delta }f(Rx)=g(Rx);\mathrm{\Delta }f=g\}$ ergibt $(\mathrm{\Delta }L)f=Lg=(L\mathrm{\Delta })f$.

Das alte Lied: ein Operator ist genau dann invariant unter Transformationen, wenn er mit den 'infinitesimalen' Operatoren solcher Symmetrietransformationen vertauscht.

Speziell die Ein-Parameter-Gruppe der Rotation um Achse 3:

$R(t)(x_1,x_2,x_3)=(x_1\cos t-x_2\sin t,x_1\sin t+x_2\cos t,x_3)$

Ergibt: $Lf(x_1,x_2,x_3)=(-x_2{\partial }_1+x_1{\partial }_2)f(\overrightarrow{x})$.

Wegen der großen Vorliebe für eventuell reelle Eigenwerte definieren wir den hermiteschen Operator

$L_3:=\frac{1}{i}(x_1{\partial }_2-x_2{\partial }_1)$

und zyklisch $L_1,L_2$ für die anderen Achsen. Die Drehimpuls-Operatoren.

Der Operator $\mathrm{\Delta }$ kommutiert also mit den $L_i$, folglich mit allen Polynomen davon, insbesondere mit $L^2:=L_1{L}_1+L_2{L}_2+L_3{L}_3$. Die $L_i$ kommutieren nicht miteinander, doch sie kommutieren mit $L^2$. Daher der Plan, um das Spektrum von Delta zu durchleuchten: Man finde gemeinsame Eigenfunktionen zu den hermiteschen $\{L_3,L^2\}$. Eigenwerte zu $L^2$ werden den Index $\ell$ und die zu $L_3$ den Index, wenn nicht sogar Wert, $m$ bekommen.

Die Ein-Parameter-Gruppe der Dilatationen $D(t)(\overrightarrow{x})=e^t\overrightarrow{x}$ bewirkt auf Funktionen den 'Aufblas-Operator', nach der Ableitung bei t=0:

$Af:=(\sum _i{x}_i{\partial }_i)f(\overrightarrow{x})$.

In einem Koordinatensystem aus Radius $r=\sqrt{\sum x_i^2}$ und gleich welchen Winkeln w auf einer Kugelfläche, $f(x)=F(r,w)$, ist $D(t)(r,w)=(e^{t}r,w)$ und der Operator $AF=r\frac{\partial }{\partial r}F=:r{\partial }_{r}F$. Eine Eigenfunktion zu $A;Af=\ell f$, ist eine homogene Funktion vom Grad $\ell$, das heißt $f(k\overrightarrow{x})=k^{\ell }f(\overrightarrow{x})$.

A hat Kommutatoren mit $\mathrm{\Delta }$, mit Multiplikations-Operator $r^2=\sum x_i^2$ und mit $(r^2\mathrm{\Delta })$, wie leicht zu prüfen ist:

$[\mathrm{\Delta },A]=2\mathrm{\Delta };[r^2,A]=-2r^2;[(r^2\mathrm{\Delta }),A]=0$.

$\mathrm{\Delta }$ senkt die Eigenwerte von A um 2 ab, $r^2$ hebt sie um 2 an.

Nun wird $L^2$ als Kombination des Trios $A,\mathrm{\Delta },r^2$ ausgedrückt. Gebraucht wird:

$A^2-A=\sum _{i,k}(x_i{\partial }_i)(x_k{\partial }_k)=\sum _{i,k}{x}_i{x}_k{\partial }_i{\partial }_k+\sum _i{x}_i{\partial }_i-A=\sum _{i,k}{x}_i{x}_k{\partial }_i{\partial }_k$

$-L_3^2=(x_1{\partial }_2-x_2{\partial }_1)(x_1{\partial }_2-x_2{\partial }_1)=[x_1^2\underset{2}{\overset{2}{\partial }}+x_2^2\underset{1}{\overset{2}{\partial }}]-x_1({\partial }_1+x_2{\partial }_1{\partial }_2)-x_2({\partial }_2+x_2{x}_1{\partial }_1{\partial }_2)]$

$=[x_1^2\underset{2}{\overset{2}{\partial }}+x_2^2\underset{1}{\overset{2}{\partial }}]+[-x_1{\partial }_1-x_2{\partial }_2]+[-2x_1{x}_2{\partial }_1{\partial }_2]$

Summiert über die drei $-L_i^2$, ergibt die zweite eckige Klammer $-2A$. Die dritte wäre fast das erwähnte $-(A^2-A)$, aber es fehlen drei quadratischen Terme $x_i^2\underset{i}{\overset{2}{\partial }}$. Setzen wir sie negativ dazu und kompensieren positiv in der ersten eckigen Klammer. Dann passt alles: mit 9 Termen wird die erste Klammer zum Operator $(r^2\mathrm{\Delta })$, die dritte Klammer zu $-A^2+A$.

Ergebnis: Es folgt die Operatorgleichung

$-L^2=r^2\mathrm{\Delta }-(A^2+A)$ mit $A=(r{\partial }_r)$.

Eine äquivalente Formel lautet $-L^2=r^2\mathrm{\Delta }-{\partial }_r(r^2{\partial }_r)$.

Homogene Funktionen f sind Eigenfunktionen zu Operator $A^2+A$ mit Eigenwert $\ell (\ell +1)$. Folglich sind diese genau dann Lösungen der Gleichung $\mathrm{\Delta }f=0$ (außerhalb des Nullpunkts), wenn sie auch Eigenvektoren von $L^2$ sind mit Eigenwert $\ell (\ell +1)$.

Beispiel, 6 homogene Polynome Grad 2, die von $\mathrm{\Delta }$ vernichtet werden:

$(x_1{x}_2),(x_1^2-x_2^2)$ (zyklisch 1,2,3). Davon sind 5 linear unabhängig.

Beispiel 2. Aus der komplexen Analysis in der z-Ebene erinnert man sich vielleicht, dass die analytischen (sprich, Potenzreihen in z) wie auch die antianalytischen (Potenzreihen im komplex-konjugierten $z^{*}$) Funktionen die Potenzialgleichung erfüllen. Probieren wir also die Potenzen von $(x_1\pm i{x}_2)$ in der Ebene $(x_1,x_2):f=(x_1+i{x}_2{)}^{\ell };g=(x_1-i{x}_2{)}^{\ell }$.

Sie hängen nicht von $x_3$ ab; sie sind homogen vom Grad $\ell$; sie erfüllen die Gleichung $\mathrm{\Delta }f=\mathrm{\Delta }g=0$, wie leicht nachzurechnen. Auch leicht zu bestätigen, sie sind Eigenfunktionen des $L_3$ - Operators: $L_{3}f=\ell f;L_{3}g=-\ell g$.

Damit sind einfache gemeinsame Eigenfunktionen zu $\{\mathrm{\Delta },L^2,L_3,A\}$ schon gefunden. Wegen Linearität sind die Summen und Differenzen von f und g, also der Realteil und der Imaginärteil für sich, auch Eigenfunktionen zu $\{\mathrm{\Delta },L^2,A\}$ aber nicht mehr zu $L_3$.

Einfachste homogene Funktionen sind Polynome in den 3 Koordinaten. Homogenen vom Grad $\ell =0,1,2,3$ bedeutet, dass alle Terme die Potenzsumme $\ell$ haben. Ihre Werte auf der Kugelfläche bestimmen die Funktion eindeutig. Die Operatoren $L_i$ als infinitesimale Rotationen sind Richtungsableitungen tangential zur Kugel, bei Anwendung verlassen die Funktionen nicht die Kugel.

Aus den homogenen Polynomen rekrutieren sich die versprochenen orthonormalen Systeme. Die $Y_{\ell m}$ sind keine höheren transzendenten Funktionen, sondern einfach Polynome, die auf die Kugelfläche geklatscht wurden.

Die Kugelfunktionen

Definition: $Y_{\ell m}:{ℝ}^3\to ℂ$ ist eine gemeinsame Eigenfunktion zu den Operatoren

$L^2{Y}_{\ell m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell m};L_3{Y}_{\ell m}=m{Y}_{\ell m};\mathrm{\Delta }{Y}_{\ell m}=0$.

Sie ist homogen, $Y_{\ell m}(r\hat{x})=r^{\ell }{Y}_{\ell m}(\hat{x})$, und erfüllt nach obigen Ergebnissen die Potenzialgleichung. Ihre Beschränkung auf der Einheitskugel heißt Kugel(flächen)funktion soll berechnet werden.

Warum sind die Eigenwerte ganze Zahlen? Und welche sind erlaubt?

$r^2\mathrm{\Delta }=-L^2+(A^2+A)$ soll Y zu Null machen, mit

$(A^2+A)Y=\ell (\ell +1)Y$. Es werden nur sanfte Funktionen Y mit konvergierender Potenzreihe um den Nullpunkt herum erlaubt. Darin seien Z die Monome mit kleinster Summe von Potenzen k; dann muss für diesen Teil schon gelten: $L^{2}Z=k(k+1)Z$. Also ist $\ell =k$ eine nichtnegative ganze Zahl, und die gesuchten Y sind homogene Polynome.

Der Operator $L_3$ ist so definiert, dass $\exp (-i\beta L_3)$ die Funktionen Y in der $x_1-x_2$ Ebene dreht. Mit Eigenwert $L_{3}Y=mY$ heißt das, der Funktionswert beim Winkel $\beta$ ist $\exp (-im\beta )Y$. Da nach einer Umdrehung $\beta =2\pi$ der Faktor 1 kommen muss, ist m eine ganze (positive oder negative) Zahl.

Ene Basis aus drei Monomen sei so definiert:

$u=x_1+i{x}_2;v=x_1-i{x}_2;w=x_3$

Sie sind Eigenfunktionen zu $L_3$ mit Eigenwerten (1,-1,0): $L_{3}u,v,w=u,-v,0$.

Der Operator $L_3$ differenziert, mit Anwendung der Produktregel wird er additiv für Eigenwerte. Für alle Monome folgt: $L_3{u}^i{v}^j{w}^k=(i-j)u^i{v}^j{w}^k$.

Auch: $\mathrm{\Delta }(u^i{v}^j{w}^k)=4ij{u}^{i-1}{v}^{j-1}{w}^k+k(k-1)u^i{v}^j{w}^{k-2}$

Diese Monome sollen nun zu Polynomen vom Grad $\ell$ gehören, also sind i und j maximal = $\ell$, und m:= i-j erfüllt $-\ell \le m\le \ell$. Damit steht der Eigenwerte-Bereich von ganzen Zahlen fest:

$\ell =0,1,2,3,4...;-\ell \le m\le \ell$.

Wie viele unabhängige Polynome vom Grad $\ell$ gibt es? Und wie viele unabhängige Polynome bleiben übrig, wenn mit dem Laplace-Operator sich Null ergibt? Abzählen der $u^i{v}^j{w}^k$ mit $i+j+k=\ell$: Für u gibt es $\ell +1$ Fälle $i=0...\ell$; bei gegebenem i für v wähle $j=0...(\ell -i)$, und k hat keine Wahl mehr. Also ist die Größe der Monom-Basis:

$N(\ell ):=\sum _{i=0}^{\ell }(\ell +1-i)=(\ell +1)(\ell +1)-\frac{1}{2}\ell (\ell +1))=\frac{1}{2}(\ell +2)(\ell +1)$.

Der $\mathrm{\Delta }$-Operator senkt den Polynomgrad um 2, so dass die Null-Bedingung $N(\ell -2)$ lineare Gleichungen abgibt. Daher die Zahl der linear unabhängigen Polynome zu gegebenem Grad $\ell$ : $N(\ell )-N(\ell -2)=\frac{1}{2}((\ell +2)(\ell +1)-(\ell -1)\ell ))=2\ell +1$

Andererseits ist in den Monomen der Basis schon alles an Eigenwerten für m enthalten, alle $2\ell +1$ Werte. Folgerung: Zu jedem Wert m gibt es bis auf Normierungsfaktor genau eine Lösung $Y_{\ell m}$.

Algorithmus zur Berechnung von $Y_{\ell m}$:

• Ansatz Linearkombination aller Monome $u^i{v}^j{w}^k$ mit $i+j+k=\ell ;i-j=m$
• Fixiere einen Koeffizienten z.B. i=max,k=0 (Normierung später)
• Berechne die Polynome $\mathrm{\Delta }$ angewandt auf die Monome
• Löse die linearen Gleichungen, die aus $\mathrm{\Delta }Y=0$ folgen.

Kugelkoordinaten

Die Kugelkoordinaten $(r,\theta ,\varphi )$ sind so definiert:

$x_1=r\sin (\theta )\cos (\varphi );x_2=r\sin (\theta )\sin (\varphi );x_3=r\cos (\theta );0\le r<\mathrm{\infty };0\le \theta \le \pi ;0\le \varphi \le 2\pi$.

Auf der Kugel (r=const=1) ist $\theta$ der Breitengrad mit Nordpol bei 0, $\overrightarrow{x}=(0,0,1);\varphi$ ist der Längengrad.

Das Integralmaß sieht umgerechnet so aus:

$\int d^{3}xf(\overrightarrow{x})=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dr\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (\theta )d\theta \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi f(r,\theta ,\varphi )$

Die Einheitskugel hat selbstverständlich die Fläche $4\pi$.

Der Laplace-Operator $\mathrm{\Delta }$ ist die Summe aus $L^2$, das aus Richtungsableitungen längs der Kugel besteht, und einem radialen Operator, wie oben errechnet:

$\mathrm{\Delta }=\frac{-1}{r^2}{L}^2+\frac{1}{r^2}{\partial }_r{r}^2{\partial }_r=-\frac{L^2}{r^2}+\frac{2}{r}{\partial }_r+\underset{r}{\overset{2}{\partial }};{\partial }_r:=\frac{\partial }{\partial r}$

Für eine Radialfunktion vom Typ $u(r)/r$ wird der Radialoperator besonders einfach:

$[\frac{2}{r}{\partial }_r+\underset{r}{\overset{2}{\partial }}]\frac{u(r)}{r}=\frac{1}{r}\underset{r}{\overset{2}{\partial }}u(r)$

Kugelfunktionen, weiter

Es gilt: $Y_{\ell m}(r,\theta ,\varphi )=r^{\ell }\exp (im\varphi )P_{\ell m}(\theta )$ wo $P_{\ell m}$ reellwertig ist. Wenn nur der Definitionsbereich Einheitskugel interessiert, wird auch $Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )$ geschrieben. Die $P_{\ell m}$ sind Werte in der Ebene $x_2=0$ und können als $P_{\ell m}(x,z)$ dargestellt werden.

Es gibt die Symmetrie $P_{\ell ,-m}=P_{\ell m}$, weil sie von Monomen $u^i{v}^j{w}^k,i-j=m$ beziehungsweise $u^j{v}^i{w}^k,j-i=-m$ abstammen. Auf der xz-Ebene ist u=v. Daher werden nur die Fälle $0\le m\le \ell$ gelistet.

Folgende Tabelle zeigt auch homogene Polynome $P_{\ell m}^h$ in der x-z Ebene mit ganzen Koeffizienten. Ihre Form auf der Einheitskugel ergibt sich mit $x=\sin (\theta );z=\cos (\theta );0\le \theta \le \pi$. Oder äquivalent mit $x=\sqrt{1-z^2};-1\le z\le 1$.

$\begin{array}{ccccc}\ell & m& P_{\ell m}(x,z)& P_{\ell m}^h(x,z)& \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\theta \sin (\theta )(P_{\ell m}^h(\sin (\theta ),\cos (\theta ){)}^2\\ 0& 0& (1)& 1& 2/1\\ 1& 0& (1z)& z& 2/3\\ 1& 1& (-1x)& x& 4/3\\ 2& 0& (-1+3z^2)/2& x^2-2z^2& 8/5\\ 2& 1& (-3xz)& xz& 4/15\\ 2& 2& (3x^2)& x^2& 16/15\\ 3& 0& (-3z+5z^3)/2& 3x^{2}z-2z^3& 8/7\\ 3& 1& (3x-15x{z}^2)/2& x^3-4x{z}^2& 32/21\\ 3& 2& (15x^{2}z)& x^{2}z& 16/105\\ 3& 3& (-15x^3)& x^3& 32/35\\ 4& 0& (3-30z^2+35z^4)/8& 3x^4-24x^2{z}^2+8z^4& 128/9\\ 4& 1& (15xz-35x{z}^3)/2& 3x^{3}z-4x{z}^3& 32/45\\ 4& 2& (-15x^2+105x^2{z}^2)/2& x^4-6x^2{z}^2& 64/45\\ 4& 3& (-105x^{3}z)& x^{3}z& 32/315\\ 4& 4& (105x^4)& x^4& 256/315\\ 5& 0& (15z-70z^3+63z^5)/8& 15x^{4}z-40x^2{z}^3+8z^5& 128/11\\ 5& 1& (-15x+210x{z}^2-315x{z}^4)/8& x^5-12x^3{z}^2+8x{z}^4& 256/165\\ 5& 2& (-105x^{2}z+315x^2{z}^3)/2& x^{4}z-2x^2{z}^3& 64/1155\\ 5& 3& (105x^3-945x^3{z}^2)/2& x^5-8x^3{z}^2& 512/385\\ 5& 4& (945x^{4}z)& x^{4}z& 256/3465\\ 5& 5& (-945x^5)& x^5& 512/693\end{array}$

In der reduzierten Form werden Faktoren $x^2$ durch $1-z^2$ ersetzt, sie ist nur auf der Kugel gültig. Die homogene Form folgt aus der reduzierten, indem alle fehlenden Potenzen bis $\ell$ als $(x^2+z^2)=1$ eingebaut werden. Die speziellen $P_l(z):=P_{l0}(x,z)$ sind Polynome ohne x, weil wegen m=0 nur quadratische x drinstecken und ausgetrieben wurden, $x^2=1-z^2$.

Die Spalte Integral zeigt die Werte $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (\theta )d\theta P_{\ell m}^h(\theta {)}^2$, für eventuelle Orthonormierung.

Die Tabelle kommt aus einem Skript, mitsamt dem Algorithmus, der $\mathrm{\Delta }Y=0$ als rationale lineare Gleichungen verwertet. Es liegt im Anhang als peinlich langer, schlecht dokumentierter Code pltable.py.

Das Skript nutzt faul Rekursionen für Integrale von Sinus-Cosinus-Monomen. Mit $I(m,n):=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\theta {\sin }^m(\theta ){\cos }^n(\theta )$ gilt:

$I(m+2,n)=\frac{m+1}{m+n+2}I(m,n);I(m,n+2)=\frac{n+1}{m+n+2}I(m,n)$

Zum Ankurbeln dient

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\theta (1,\sin \theta ,\cos \theta ,\sin \theta \cos \theta )=(\pi ,2,0,0)$.

Bequemer skriptet sich die Reihe der $P_{\ell m}$ mit folgenden Formeln.

$\ell P_{\ell }(z)=(2\ell -1)z{P}_{\ell -1}(z)-(\ell -1)P_{\ell -2}(z)$

$P_{\ell }(z)=\frac{1}{2^{\ell }\ell !}\frac{d^{\ell }}{d{z}^{\ell }}(z^2-1{)}^{\ell }$

$P_{\ell m}(x,z)=(-1{)}^m{x}^m\frac{d^m}{d{z}^m}{P}_{\ell }(z);x^2+z^2=1$

Die ersten Legendre-Polynome P(z), getrimmt auf P(1)=1, sehen so aus:

$P_0=1$

$P_1=z$

$P_2=(3z^2-1)/2$

$P_3=(5z^3-3z)/2$

$P_4=(35z^4-30z^2+3)/8$

$P_5=(63z^5-70z^3+15z)/8$

$P_6=(231z^6-315z^4+105z^2-5)/16$

Das Skript plplot.py im Anhang schreibt eine Bild-Datei plplot.svg.

Eigenschaften von Legendre-Polynomen

Die Legendre-Differenzalgleichung, aus der sie folgen, sei nur zitiert:

$\frac{d}{dz}[(1-z^2)\frac{dP}{dz}]+\ell (\ell +1)P=0$

Die Gleichung fällt an, wenn der $L^2$ Operator in Kugelkoordinaten umgerechnet wird. Wie es sein muss, hat $L^2$ keine Radial-Abhängigkeit.

Die Polynome sind alternativ definiert als

$P_{\ell }(z)=\frac{1}{2^{\ell }\ell !}\frac{d^{\ell }}{d{z}^{\ell }}(z^2-1{)}^{\ell }$

Die Legendre-Polynome $P_{\ell }$ sind orthogonal bezüglich des reellen Skalarprodukts, äquivalent in den Variablen $\theta$ oder $z=\cos \theta$ geschrieben:

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \theta d\theta P_{\ell }(\cos \theta )P_{{\ell }^{\prime }}(\cos \theta )=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}dz{P}_{\ell }(z)P_{{\ell }^{\prime }}(z)={\delta }_{\ell {\ell }^{\prime }}\frac{2}{2\ell +1}$

Die $P_{\ell }$ definieren ein vollständiges Orthonormal-System auf dem Intervall [-1,1]. Denn dort können alle gutartigen Funktionen gleichmäßig durch Polynome in $z$ angenähert werden und die $P_{\ell }$ mit all ihren Graden $\ell$ spannen die Polynome auf.

Die assoziierten Legendre-Funktionen $P_{\ell m}$ auf der Kugel ergeben sich mit $x=\sqrt{1-z^2}$ aus der Formel

$P_{\ell m}(z)=(1-z^2{)}^{m/2}\frac{d^m}{d{z}^m}{P}_{\ell }(z)$

Orthogonal sind sie bei gleichem Index m,

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}dz{P}_{\ell m}{P}_{{\ell }^{\prime }m}=0;l\ne l^{\prime }$.

Nicht immer verschwindet das Integral, wenn sowohl $\ell$ als auch m verschieden sind. Dann garantiert das $\varphi$-Integral der verschiedenen Faktoren $\exp (im\varphi )$ die Orthogonalität der $Y_{\ell m}$.

Für die Normierung gilt: $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}dz(P_{\ell m}(z){)}^2=\frac{2}{2l+1}\frac{(\ell +m)!}{(\ell -m)!}$

Die orthonormierten $Y_{\ell m}$ auf der Einheitskugel haben die Form:

$Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )=\sqrt{\frac{2\ell +1}{4\pi }\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}(-1{)}^m{e}^{im\varphi }{P}_{\ell m}(\cos \theta )$

Alle $Y_{\ell m}$ sind orthogonal bei Integration über die Kugelfläche, weil sie Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten der hermiteschen Operatoren $\{L^2,L_3\}$ sind. Darüber hinaus sind sie ein vollständiges System; jede glatte Funktion auf der Kugel hat eine Reihenentwicklung in dieser Basis. Warum? Waren nicht die Zwangsbedingungen $\mathrm{\Delta }{Y}_{\ell m}=0$ auferlegt? Ja, aber die sagen nur was über eine radiale Fortsetzung der Funktion, nämlich $(A^2+A)Y=L^{2}Y$. Auf der Kugelfläche schränken sie nichts ein, und dort stellen die $Y_{\ell m}$ das Eigenwert-Spektrum erschöpfend und eindeutig dar.

Die Reihenentwicklung nach $Y_{\ell m}$ einer Funktion auf der Kugel gedeiht bestens zum Beispiel der ungleichmäßigen Winkelverteilung der kosmischen Hintergrundstrahlung aus allen Richtungen. Sie wird als Zerlegung in Multipolmomente bezeichnet. Terme zu $\ell =0$ heißen Monpol, $\ell =1$ Dipol etc. Beeindruckend hohe Ordnungen von $\ell$ wurden analysiert, Bild hier:

w:Datei:PowerSpectrumExt.svg

Schrödinger-Gleichung im Zentralpotenzial

Die zeitunabhängige Gleichung mit Potenzial $V(\overrightarrow{x})=V(r)$ schreit nach Anwendung der Kugelfunktionen. Der Winkel-Anteil des Delta-Operators wird über Eigenwerte von $L^2$ erledigt, es bleibt nur eine Radial-Gleichung.

Der Laplace-Operator ergibt auf einer Funktion $\psi =Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )\frac{u(r)}{r}$ :

$\mathrm{\Delta }(Y_{\ell m}\frac{u}{r})=-\frac{\ell (\ell +1)}{r^2}\frac{Y_{\ell m}}{r}u+\frac{Y_{\ell m}}{r}{u}^{″}(r)$

Aus der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung

$\frac{-{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }\psi +V(r)\psi =E\psi$

lässt sich also der Term Kugelflächenfunktion $Y_{\ell m}$ mal 1/r ausklammern.

Es bleibt die Radialgleichung für u übrig:

$\frac{-{\hslash }^2}{2m}{u}^{″}+\frac{{\hslash }^2\ell (\ell +1)}{2m{r}^2}+V(r))u(r)=Eu(r)$

Genau so steht die radiale Schrödingergleichung am Anfang des Kapitels.

Zu den Einheiten

Im legalen SI (MKSA)-System ist das elektrostatische Potenzial $V(r)=\frac{-Z{e}^2}{4\pi {ϵ}_{0}r}$. In vielen Quantenmechanik-Büchern steht es mit altmodischen elektrostatischen Einheiten für die Ladung einfacher da, $V(r)=\frac{-Z{e}^2}{r}$.

Alte Theoretiker-Einheiten ausgedrückt in legalen SI-Einheiten:

$𝔮=q/\sqrt{4\pi {ϵ}_0}$

$\overrightarrow{𝔈}=\sqrt{4\pi {ϵ}_0}\cdot \overrightarrow{E}$

$\overrightarrow{𝔅}=\sqrt{\frac{4\pi }{{\mu }_0}}\cdot \overrightarrow{B}$

In physikalisch konsequenten Einheiten bleibt vom MKSA nur eine unabhängige Maßeinheit, zum Beispiel das Meter. Denn die Lichtgeschwindigkeit und das Planck-Quantum sind so fundamental, dass damit die Zeit als (ct) in Metern gemessen wird, der Impuls $\hslash /\lambda$ in 1/Meter, genauso Energie und Masse $(E=m{c}^2)$ in reziproken Metern. Man schreibt salopp $\hslash =c=1$. Die Elementarladung wird zu einer dimensionslosen Größe, der Feinstrukturkonstante $\alpha =\frac{e^2}{\hslash c}\sim \frac{1}{137}$

Wahre Konstanten in der Physik sind dimensionslos. Die dimensionsbehafteten wurden durch ein vereinfachtes Maßsytem weggeschafft. Die Boltzmann- Konstante etwa verschwindet, indem die Temperaturskala berichtigt wird. Zum Beispiel Elektronenvolt statt willkürlicher Kelvin, Celsius, Fahrenheit.

Weil die Feinstrukturkonstante klein ist, funktioniert die Störungsrechnung in der Quantenelektrodynamik sehr gut und lieferte beeindruckend gute Ergebnisse, nachdem die Technik der Feynman-Graphen und der richtige Renormierungs-Algorithmus entwickelt wurden.

Theoretiker haben scheinbar wenig Geduld mit pingeligen Skalenfaktoren von Einheitensystemem. Gerüchtehalber gilt in der Stringtheorie sogar $i=2\pi =\sqrt{2}=1$ und so weiter.

Ungebundene Zustände und Partialwellen

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ist bei gebundenen Zuständen eine Eigenwertgleichung und liefert diskrete Energien. Bei Energien oberhalb eines maximalen $V(\overrightarrow{x})$ jedoch liegt das Kontinuum. Zu jeder Energie E gibt es beliebig viele Lösungen, einen großen Hilbert-Teilraum pro E-Wert. Welche Berechnungen sind da sinnvoll? Die Berechnung von Streuungen, von Wirkungquerschnitten. Beispiel, ein ruhender Atomkern hat ein Zentral- Potenzial V(r) und wird bombardiert mit Elektronen, die als ebene Wellen ankommen. Man möchte die auslaufende Kugelwelle in allen Richtungen untersuchen und etwa die Rutherford-Formel bestätigen, die ursprünglich ohne Erlaubnis klassisch hergeleitet wurde.

Seien Energien E>0 vorgegeben, gesucht wird im Raum der Lösungen

$(\frac{{\overrightarrow{p}}^2}{2m}+V(r))\psi =E\psi ;\psi (t)=\exp (-Et/\hslash )\psi (t=0)$ :

• Eine Basis von einlaufenden Wellen $|E;\overrightarrow{k};+⟩$

die genau in der Richtung des Wellenvektors aussehen wie ebene Wellen, deren Amplitude in allen anderen Richtungen aber mit 1/r abfallen.

• Symmetrisch eine Basis von auslaufenden Wellen $|E;\overrightarrow{k};-⟩$.

Diese simulieren hypothetische Zustände, wo eine Kugelwelle auf das Zentrum zuläuft; geschickt so abgeglichen dass sie gebündelt in Richtung $\overrightarrow{k}$ als Strahl ausgeliefert wird.

Die einlaufenden Wellen sind Resultate eines Vorbereitungs-Experiments, in dem das Labor einen Teilchenstrahl mit bekannten Eigenwerten E,k zubereitet. Die auslaufenden Wellen sind die Eigenzustände der Observablen "ideale Detektor-Anlage". Diese überwacht eine Kugelfläche um das Ziel herum und findet bei jedem Aufschlag die Winkel und Energien, also Eigenwerte E,k.

Weit weg vom Zentrum soll eine "in"-Welle $|E;\overrightarrow{k};+⟩$ die gesuchte Form Ebene Welle plus Kugelwelle haben

$\exp (i\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})+f_{\overrightarrow{k}}(\hat{r})\frac{\exp (ikr)}{r};r\gg R\{V\}$

Die gestreute Kugelwelle muss mit 1/r abfallen, damit die Wahrscheinlichkeit erhalten bleibt, also ihr Betragsquadrat mit $1/r^2$ fällt. $f_{\overrightarrow{k}}(\hat{r})=f_{\overrightarrow{k}}(\theta ,\varphi )$ heißt Streuamplitude.

Die Axiome der Quantenmechanik lehren dann, dass die Amplitude der Projektion $S(k,k^{\prime }):=⟨E;\overrightarrow{k};-|E^{\prime };{\overrightarrow{k}}^{\prime };+⟩$ die Statistik vorhersagt. Nämlich nach der Born-Regel ist das Betragsquadrat $|S(k,k^{\prime }){|}^2$ (einlaufendes k' fixiert) das Maß der Wahrscheinlichkeitsverteilung der auslaufenden Teilchen k. Technisch muss $|S{|}^2$ noch in Wirkungsquerschnitte umgewandelt werden, weil diese bei der Praxis von Messungen anfallen. Wichtig vorher also, diese Streumatrix $S(E,\overrightarrow{k},E^{\prime },{\overrightarrow{k}}^{\prime })$ auszurechnen. Eine Matrix mit kontinuierlichen Indizes. Sie kann bei Bedarf noch Spin-Quantenzahlen und andere Argumente haben. Es ist $|{\overrightarrow{k}}^{\prime };+⟩=\int d\overrightarrow{k}|\overrightarrow{k};-⟩S(\overrightarrow{k},{\overrightarrow{k}}^{\prime })$ die Entwicklung der einlaufenden in der Basis der auslaufenden Zustände. Die Wahrscheinlichkeits-Summen 1 sind mit einem unitären S gewährleistet.

Aufgefasst als Operator, ordnet S jedem auslaufenden Zustand den einlaufenden mit denselben Quantenzahlen zu, $S:|E;\overrightarrow{k};-⟩\mapsto |E;\overrightarrow{k};+⟩$ Damit: $S(k,k^{\prime })=⟨E;\overrightarrow{k};-|S|E^{\prime };{\overrightarrow{k}}^{\prime };-⟩$. Operator S ist unitär.

Sei angenommen, die auslaufenden Zustände haben eine unitäre Entwicklung in der Basis der freien Zustände $|k⟩$, die zur potenzialfreien Schrödinger- Gleichung gehören.

$|\overrightarrow{k};-⟩=\int d\overrightarrow{h}|\overrightarrow{h}⟩U(\overrightarrow{h},\overrightarrow{k});|\overrightarrow{j}⟩=\int d\overrightarrow{k}|\overrightarrow{k};-⟩U^{*}(\overrightarrow{j},\overrightarrow{k});U^{-1}(\overrightarrow{h},\overrightarrow{k})=U^{*}(\overrightarrow{k},\overrightarrow{h})$.

Operator S hat dann seine äquivalente unitäre Matrix in der freien Basis:

$⟨\overrightarrow{k}|S|\overrightarrow{h}⟩=\int d\overrightarrow{i}d\overrightarrow{j}U(\overrightarrow{k},\overrightarrow{i})⟨\overrightarrow{i};-|S|\overrightarrow{j};-⟩U^{*}(\overrightarrow{h},\overrightarrow{j})=\int d\overrightarrow{i}d\overrightarrow{j}U(\overrightarrow{k},\overrightarrow{i})S(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})U^{*}(\overrightarrow{h},\overrightarrow{j})=[US{U}^{†}](\overrightarrow{k},\overrightarrow{h})$.

Bei der Symmetrie im Zentralpotenzial V(r) hängt $⟨\overrightarrow{k}|S|\overrightarrow{h}⟩$ nur vom Winkel zwischen den Impulsen $\overrightarrow{k},\overrightarrow{h}$ und von der Energie ab. Energie und Impulsbetrag seien Erhaltungsgrößen. Die Winkelfunktion wird nun in Legendre-Polynome entwickelt.

$⟨\overrightarrow{k}|S|\overrightarrow{h}⟩=\delta (\overrightarrow{k}-\overrightarrow{h})\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}{f}_{\ell }(k)P_{\ell }(\hat{k}\cdot \hat{h})$

Die Unitarität der S-Matrix besagt: $\int dg<k|S|g><h|S|g{>}^{*}=\delta (k-h)$.

Einsetzen der orthogonalen Legendre-Reihe und Raumwinkel-Integral $4\pi k^2$ bringen:

$k^2\delta (\overrightarrow{k}-\overrightarrow{h})\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\frac{4\pi }{2\ell +1}|f_{\ell }(k){|}^2{P}_{\ell }(\hat{k}\cdot \hat{h})=\delta (\overrightarrow{k}-\overrightarrow{h})$

Dies wird mit der folgenden Identität verglichen, die aus der Vollständigkeits-Eigenschaft der $P_{\ell }$ folgt:

$\delta (\overrightarrow{k}-\overrightarrow{h})=\frac{\delta (k-h)}{4\pi k^2}\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)P_{\ell }(\hat{k}\cdot \hat{h})$

Ergebnis, es sind nur die Phasen unbekannt:

$f_{\ell }(k)=\frac{2\ell +1}{4\pi k^2}\exp (2i\delta (\ell ,k))$

mit reellen Funktionen $\delta (\ell ,k)$ von Partialwellen-Nummer und Impulsbetrag.

Die S-Matrix nimmt die Form an: $⟨\overrightarrow{k}|S|\overrightarrow{h}⟩=\delta (k-h)\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2\ell +1}{4\pi k^2}\exp (2i\delta (\ell ,k))P_{\ell }(\hat{k}\cdot \hat{h})$

Die Physik der Streuung erscheint hier als eine Reihe energie-abhängiger Phasenverschiebungen, indexiert mit der Drehimpuls-Quantenzahl. Für eine ungestörte Welle sind alle Phasen Null in dieser Entwicklung. Die Phase der Partialwelle gibt Auskunft, wie lange sie in dem Zentralpotenzial aufgehalten wird. Bei Resonanzen wird die Welle beachtlich verzögert.

Man interpretiert eine Welle, die nahe am Zentrum eine Zeit lang gespeichert wird und dann exponentiell abfließt, auch als einen 'unstabil gebundenen' Zustand. Wie immer als Wahrscheinlichkeitswelle zu verstehen. Die Messung sieht nach einer Versuchsreihe die Statistik von verzögerten Teilchen mit der typisch exponentiellen Verteilung der Lebensdauer.

Ein eigenes Kapitel über Streuungen wäre nötig, wo konkret gearbeitet wird:

• Existenz und Berechnung der "in" bzw. "out"-Zustände
• Berechnung von S-Matrix, Streuamplituden, Wirkungsquerschnitten
• Berechnung der Phasengänge von Partialwellen
• optisches Theorem, Born-Approximation, Coulomb-Streuung

und mehr.

Anhang

Listings plplot.py und pltable.py

Quantenmechanik/ H-Atom-Spektrum/ Pythonskript

Der Code plplot.py macht auch unnormierte Graphen radialf.svg von einigen Radialfunktionen des Typs

$u(r)/r=r^{\ell }{e}^{-r}f(r)$.

Laguerre-Polynome

Die Radialgleichung im Coulombpotenzial endete oben praktisch in dieser Form:

$r{f}^{″}(r)+2((\ell +1)-r)f^{\prime }(r)+(2n-2\ell -2)f(r)=0$

Hier noch einiges dazu, wie die Laguerre-Polynome da hereinpassen. Die Exponentialfunktion mal Polynom liefert bei Ableitungen immer wieder Exponential mal Polynom, also lag es nahe, die Serien zu untersuchen.

Sei $g_{n,k}(z):={\partial }^n(e^{-z}{x}^k);\partial :=\frac{d}{dz}$

$g_{n,k}=\partial g_{n-1,k}=-g_{n-1,k}+k{g}_{n-1,k-1}$ durch Differenzieren.

$g_{n,k+1}=z{g}_{n,k}+n{g}_{n-1,k}$ ergibt sich mit Operatorgleichung:

${\partial }^n(zf)=z{\partial }^{n}f+n{\partial }^{n-1}f$(Beweis Induktion).

Nun wird eine Differenzialgleichung für $G:=g_{n-1,k-1}$ erstellt.

$A:=\partial g_{n-1,k}=g_{n,k}=z{g}_{n,k-1}+nG=(z\partial +n)G$

$B:=(\partial +1)g_{n-1,k}=kG$

Mit zweiten Ableitungen folgt $(\partial +1)A=\partial B$ und damit für G:

$[z{\partial }^2+(z+1+n-k)\partial +n]G=0$.

Spezialfall $m=n-1=k-1$:

$[z{\partial }^2+(1+z)\partial +(1+m)]G=0$

Nun sei das Polynom $F(z)=e^{z}G(z)$ eingebaut, man neutralisiert so die $e^{-z}$ in G. Mit Ableitungs-Notation $F,F^{\prime },F^{″},G,G^{\prime },G^{″}$ gilt

$F^{\prime }=e^z(G^{\prime }+G);F^{″}=e^z(G^{″}+2G^{\prime }+G)$

$e^z{G}^{\prime }=F^{\prime }-F;e^z{G}^{″}=F^{″}-2F^{\prime }+F$

Die Differenzialgleichung für G wird in F umgeschrieben und lautet:

$z{F}^{″}+(1-z)F^{\prime }+mF=0;F(z)=e^z{\partial }^m(e^{-z}{z}^m)$

Ergebnis. Die Polynome $L_m(z)=e^z{\partial }^m(e^{-z}{z}^m);\partial ==\frac{d}{dz}$ lösen die Differenzialgleichung

$z{\partial }^{2}L(z)+(1-z)\partial L(z)+nL(z)=0$

Es gibt Rekursionen für den Hausgebrauch:

$L_0(z)=1;L_1(z)=1-z$

$L_m(z)=[z\partial +(m-z)]L_{m-1}(z);\partial :=\frac{d}{dz}$

$L_m(z)=(2m-1-z)L_{m-1}(z)-(m-1{)}^2{L}_{m-2}(z)$

Die Polynome haben den Wert $L_m(0)=m!$ und sind orthogonal im Bezug auf das mit $e^{-z}$ gewichtete Integral:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z}dz{L}_n(z)L_m(z)={\delta }_{nm}(n!{)}^2$

Die assoziierten Laguerre-Polynome sind die Ableitungen der Basispolynome: $L_{m-k}^k(z):=(-1{)}^k{d}^k/d{z}^k{L}_m(z)$

Die Vorzeichenwahl sichert einen positiven Wert bei z=0. Wenn $L_m$ die Gleichung $z{L}^{″}+(1-z)L^{\prime }+mL=0$ erfüllt, dann $L_{m-k}^k$ die 'verschobene' Gleichung

$z{L}^{″}+(k+1-z)L^{\prime }+(m-k)L=0$,

was sich wohl durch Induktion zeigen lässt.

Jetzt schimmert die Radialgleichung durch, denn mit r mal einem konstanten Faktor sollte sich der noch störende Koeffizient 2 entfernen lassen. Mit $z:=2r;r=z/2;F(z)=f(r);f^{\prime }(r)=2dF/dz;f^{″}=4d^{2}F/d{z}^2$ :

$z{F}^{″}+(2(\ell +1)-z)F^{\prime }+(n-\ell -1)F=0$

Bleibt zu identifizieren: $m-k=n-\ell -1;k+1=2\ell +2$. Damit ist die versprochene Lösung gefunden: $f(r)=L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(2r)$.

Für die Normalisierung der Wellenfunktion gibt es folgendes Integral:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dz{e}^{-z}{z}^{2\ell +2}[L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(z){]}^2=\frac{2n[(n+\ell )!{]}^3}{(n-\ell -1)!}$