Primzahlen: V. Kapitel: Primzahllücken

Einleitung

In diesem Kapitel geht es um die Lücken zwischen zwei Primzahlen und deren Größe.

Primzahllücken

Was versteht man unter einer Primzahllücke? Das ist ganz einfach. Eine Primzahllücke ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen. Als Länge der Primzahllücke bezeichnet man die Differenz zweier aufeinanderfolgender Primzahlen. Die bekannteste Form der Primzahllücken sind die Primzahlzwillinge, zwei Primzahlen $p_1$ und $p_2=p_1+2$, zwischen denen genau eine Nichtprimzahl liegt.

Gibt es die Möglichkeit, Primzahllücken einer bestimmten Mindestlänge zu konstruieren?

Ja, die Möglichkeit gibt es. Hier werden drei Vorgehensweisen vorgestellt:

Konstruktion einer Primzahllücke über die Fakultät:

Die Fakultät $n!$ hat die folgende Eigenschaft, dass sie durch alle Zahlen von 2 bis n teilbar ist. Demzufolge ist eine Zahl $n!+m$ mit $2\le m\le n$ auch durch $m$ teilbar, und damit keine Primzahl. Auf diese Weise bekommt man eine feste Lücke aus $n-1$ Nichtprimzahlen zwischen $n!+2$ und $n!+n$.

Beispiel:

n=6

$6!+2=722$ ist durch 2 teilbar.

$6!+3=723$ ist durch 3 teilbar.

$6!+4=724$ ist durch 4 teilbar.

$6!+5=725$ ist durch 5 teilbar.

$6!+6=726$ ist durch 6 teilbar.

Konstruktion einer Primzahllücke über das kgV

Das folgende Verfahren ist mit der Konstruktion über die Fakultät verwandt. Das $\mathrm{kgV}(2,\dots ,n)$ ist, wie die Fakultät $n!$, durch alle Zahlen zwischen 2 und n teilbar. Wie bei dem Verfahren mit der Fakultät gilt, dass das $\mathrm{kgV}(2,\dots ,n)+m$ mit $2\le m\le n$ durch $m$ teilbar ist, und damit keine Primzahl sein kann. Und genauso wie bei dem Verfahren mit der Fakultät bekommt man eine feste Lücke aus $n-1$ Nichtprimzahlen zwischen $\mathrm{kgV}(2,\dots ,n)+2$ und $\mathrm{kgV}(2,...,n)+n$.

Beispiel:

n=6

$\mathrm{kgV}(2,\dots ,6)+2=62$ ist durch 2 teilbar.

$\mathrm{kgV}(2,\dots ,6)+3=63$ ist durch 3 teilbar.

$\mathrm{kgV}(2,\dots ,6)+4=64$ ist durch 4 teilbar.

$\mathrm{kgV}(2,\dots ,6)+5=65$ ist durch 5 teilbar.

$\mathrm{kgV}(2,\dots ,6)+6=66$ ist durch 6 teilbar.

Konstruktion einer Primzahllücke über das Primorial

Dieses Verfahren ist etwas subtiler. Es beruht auf einer mathematischen Operation, die im englischen primorial genannt wird. Das primorial $p_n\mathrm{\#}$ ist das Produkt aller Primzahlen zwischen 2 und $p_n$. Hierbei ist nicht sichergestellt, dass alle natürlichen Zahlen zwischen 2 und $p_n$ als Teiler vorhanden sind. Aber dies ist auch gar nicht nötig, denn alle Zahlen zwischen 2 und $p_{n+1}-1$ können nur Primzahlen zwischen 2 und $p_n$ als Faktoren enthalten.

Beispiel:

n=5 (bis $5\mathrm{\#}+6$, da erst 7 die nächst höhere Primzahl ist)

$5\mathrm{\#}+2=32$ ist durch 2 teilbar.

$5\mathrm{\#}+3=33$ ist durch 3 teilbar.

$5\mathrm{\#}+4=34$ ist durch 2 teilbar.

$5\mathrm{\#}+5=35$ ist durch 5 teilbar.

$5\mathrm{\#}+6=36$ ist durch 6 teilbar.

Einschränkung

Keines der genannten Verfahren garantiert, dass die direkt an die Lücke grenzenden Zahlen Primzahlen sind. Die eigentliche Lücke kann in Wirklichkeit wesentlich größer sein:

Beispiele:

n=8

$8!+2=40322$ ist durch 2 teilbar.

$8!+3=40323$ ist durch 3 teilbar.

$8!+4=40324$ ist durch 4 teilbar.

$8!+5=40325$ ist durch 5 teilbar.

$8!+6=40326$ ist durch 6 teilbar.

$8!+7=40327$ ist durch 7 teilbar.

$8!+8=40328$ ist durch 8 teilbar.

Die nächsten Primzahlen sind allerdings erst 40289 und 40343, und damit liegen 53 statt nur 7 Nichtprimzahlen in der Lücke.

n=11

$\mathrm{kgV}(2,\dots ,11)+2=27722$ ist durch 2 teilbar.

$\mathrm{kgV}(2,\dots ,11)+3=27723$ ist durch 3 teilbar.

$\mathrm{kgV}(2,\dots ,11)+4=27724$ ist durch 4 teilbar.

$\mathrm{kgV}(2,\dots ,11)+5=27725$ ist durch 5 teilbar.

$\mathrm{kgV}(2,\dots ,11)+6=27726$ ist durch 6 teilbar.

$\mathrm{kgV}(2,\dots ,11)+7=27727$ ist durch 7 teilbar.

$\mathrm{kgV}(2,\dots ,11)+8=27728$ ist durch 8 teilbar.

$\mathrm{kgV}(2,\dots ,11)+9=27729$ ist durch 9 teilbar.

$\mathrm{kgV}(2,\dots ,11)+10=27730$ ist durch 10 teilbar.

$\mathrm{kgV}(2,\dots ,11)+11=27731$ ist durch 11 teilbar.

Die nächsten Primzahlen sind allerdings erst 27701 und 27733, und damit liegen 31 statt nur 10 Nichtprimzahlen in der Lücke.

n=11

$11\mathrm{\#}+2=2312$ ist durch 2 teilbar.

$11\mathrm{\#}+3=2313$ ist durch 3 teilbar.

$11\mathrm{\#}+4=2314$ ist durch 2 teilbar.

$11\mathrm{\#}+5=2315$ ist durch 5 teilbar.

$11\mathrm{\#}+6=2316$ ist durch 6 teilbar.

$11\mathrm{\#}+7=2317$ ist durch 7 teilbar.

$11\mathrm{\#}+8=2318$ ist durch 2 teilbar.

$11\mathrm{\#}+9=2319$ ist durch 3 teilbar.

$11\mathrm{\#}+10=2320$ ist durch 10 teilbar.

$11\mathrm{\#}+11=2321$ ist durch 11 teilbar.

Die nächsten Primzahlen sind allerdings erst 2311 und 2333, und damit liegen 21 statt nur 10 Nichtprimzahlen in der Lücke.