Primzahlen: IV. Kapitel: Der Primzahl-Satz

Einleitung

In diesem Kapitel geht es um die Verteilung der Primzahlen

Die abzählbare Unendlichkeit

Wie im II. Kapitel: Die Unendlichkeit der Primzahlen gezeigt, bilden die Primzahlen eine abzählbar unendliche Teilmenge der Natürlichen Zahlen. Die Menge $P$ der Primzahlen lässt sich also abzählen:

$P=\{p_1,p_2,p_3,\dots \}.$

Eine mögliche Zuordnung wäre:

$p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7,p_5=11,p_6=13,p_7=17,\dots$

Die Primzahl-Funktion

Die Funktion $\pi (n)$ gibt die Anzahl aller Primzahlen bis zu einer vorgegebenen Grenze $n$ an. So gibt es unter 100 25 Primzahlen, und demzufolge ist $\pi (100)=25$. Aber wie lässt sich $\pi (n)$ berechnen?

Mindestens so: $\pi (n+1)=\pi (n)$ falls $n+1$ keine Primzahl ist und $\pi (n+1)=\pi (n)+1$ falls $n+1$ Primzahl

• Beispiel

n	π(n)
10	4
100	25
1000	168
10.000	1229
100.000	9592
1.000.000	78498

Der Primzahlsatz

Der Primzahlsatz besagt, wie sich die Primzahl-Funktion asymptotisch verhält. Es zeigt sich, dass $\pi (n)$ sich asymptotisch verhält wie die Funktion $n/\ln (n)$, d. h. die Funktionen $\pi (n)$ und $n/\ln (n)$ sind asymptotisch äquivalent. Formel:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (n)}{\frac{n}{\ln (n)}}=1.$

Eine noch bessere Approximation als $\frac{n}{\ln (n)}$ ist der Integrallogarithmus

$\mathrm{L}\mathrm{i}(n):=\underset{2}{\overset{n}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}.$

Die Ableitung des Integrallogarithmus ist eine Näherung für die Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl $n>7$ eine Primzahl ist:

$P(n)=\frac{1}{\ln (n)}$ und

$P_{odd}(n)=\frac{2}{\ln (n)}$ für ungerade Zahlen $n>7$.