Primzahlen: Formelsammlung

Primzahlsatz

Anzahl der Primzahlen $(\pi (n))$kleiner gleich $n$:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (n)}{\frac{n}{\ln (n)}}=1$

$\pi (n)\approx \frac{n}{\ln (n)}$ mit $n>7$

Eine noch bessere Approximation als $\frac{n}{\ln (n)}$ ist der Integrallogarithmus

$\pi (n)\approx \mathrm{L}\mathrm{i}(n):=\underset{2}{\overset{n}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}.$

Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl $n>7$ eine Primzahl ist:

$P(n)\approx \frac{1}{\ln (n)}$

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient kommt aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mit Hilfe des Binomialkoeffizienten lässt sich berechnen, wieviele Möglichkeiten es gibt m Objekte aus einer Gesamtzahl von n unterschiedlchen Objekten auszuwählen. Berechnet wird der Binomialkoeffizient nach der Formel:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=\frac{n\cdot n-1\cdot n-2\cdot ...\cdot n-(m-1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot m}=\frac{n!}{m!\cdot (n-m)!}$

Beispiele

Man hat in einem Beutel sechs farbige Kugeln (rot, grün, blau, gelb, magenta, cyan). Wieviele unterschiedliche Kombinationen zweier Kugeln lassen sich aus dem Beutel nehmen?

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})=\frac{6\cdot 5}{1\cdot 2}=15$

Es gibt 15 Kombinationen.

Das bekannteste Beispiel für einen Binomialkoeffizienten ist das Lotto 6 aus 49. Wieviele Kombinationen von 6 Zahlen kann man aus 49 Zahlen zusammenstellen?

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}=13983816$

Es sind 13.983.816 (das sind fast 14 Millionen).