Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Siebzehneck

Siebzehneck

Eigenschaften, mathematischer Hintergrund u. a. m. sind in dem Artikel Vorlage:W enthalten.

Konstruktion bei gegebenem Umkreis nach H. W. Richmond

Siebzehneck nach Herbert W. Richmond, ausführlich dargestellte Version

Das folgende regelmäßiges Siebzehneck ist eine ausführlich dargestellte Version der Konstruktion, die von Herbert W. Richmond 1893 veröffentlicht wurde.

Ist ein Kreis k₁ (der Umkreis um das entstehende Siebzehneck) um den Mittelpunkt O gegeben, kann das Siebzehneck konstruiert werden durch:

1. Zeichnen eines Durchmessers von k₁; Schnittpunkte mit k₁ sind A und B.
2. Konstruktion der Mittelsenkrechten m zu Vorlage:Overline; Schnittpunkte mit k₁ sind C und D.
3. Konstruktion des Mittelpunktes E von Vorlage:Overline.
4. Konstruktion des Mittelpunktes F von Vorlage:Overline und Zeichnen von Vorlage:Overline.
5. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₁ zwischen Vorlage:Overline und Vorlage:Overline.
6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₂ zwischen m und w₁; Schnittpunkt mit Vorlage:Overline ist G.
7. Konstruktion der Senkrechten s zu w₂ durch F.
8. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₃ zwischen s und w₂; Schnittpunkt mit Vorlage:Overline ist H.
9. Konstruktion des Thaleskreises k₂ (mit Mittelpunkt M) über Vorlage:Overline; Schnittpunkte mit Vorlage:Overline sind J und K.
10. Konstruktion eines Kreises k₃ um G, der durch J und K verläuft; Schnittpunkte mit Vorlage:Overline sind L und N (dabei liegt N sehr nahe an M).
11. Konstruktion der Tangente an k₃ durch N; Schnittpunkte mit k₁ sind die Eckpunkte P₃ und P₁₄ des Siebzehnecks.
12. Je siebenmaliges Abtragen der Sehne d₁ = Vorlage:Overline von k₁ auf k₁ – ab dem Eckpunkt P₃ entgegen dem Uhrzeigersinn und ab dem Eckpunkt P₁₄ im Uhrzeigersinn; Schnittpunkte mit k₁ sind alle restlichen Eckpunkte des Siebzehnecks.
13. Verbinden der so gefundenen Punkte.

Variation der Konstruktion nach H. W. Richmond

Siebzehneck, Variation, darin liegt Punkt N nicht mehr so nah an M

Unterschiede zum Original

• Der Kreis k₂ bestimmt statt der Winkelhalbierenden w₃ den Punkt H.
• Der Kreis k₄ um den Punkt G′ (Spiegelung des Punktes G an m) ergibt den Punkt N, der dadurch für die Konstruktion der Tangente nicht mehr so nah an M liegt.
• Einige Bezeichnungen sind geändert.

Konstruktionsbeschreibung

1. Zeichnen eines großen Kreises k₁ (des Umkreises des entstehenden Siebzehnecks) um den Mittelpunkt O.
2. Zeichnen eines Durchmessers; Schnittpunkte mit k₁ sind A und B.
3. Konstruktion der Mittelsenkrechten m zu Vorlage:Overline; Schnittpunkte mit k₁ sind C und D.
4. Konstruktion des Mittelpunktes E von Vorlage:Overline.
5. Konstruktion des Mittelpunktes F von Vorlage:Overline und Zeichnen von Vorlage:Overline.
6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₁ zwischen Vorlage:Overline und Vorlage:Overline; Schnittpunkt mit Vorlage:Overline ist Q.
7. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₂ zwischen Vorlage:Overline und Vorlage:Overline; Schnittpunkt mit Vorlage:Overline ist G.
8. Konstruktion von G′ durch Spiegelung von G an m.
9. Konstruktion des Kreises k₂ um Q, der durch F verläuft; der näher an m liegende Schnittpunkt mit Vorlage:Overline ist H.
10. Konstruktion des Thaleskreises k₃ über Vorlage:Overline; Schnittpunkte mit Vorlage:Overline sind J und K.
11. Konstruktion des Kreises k₄ um G′, der durch J und K verläuft; Schnittpunkte mit Vorlage:Overline sind L und N.
12. Konstruktion der Tangente an k₄ durch N; Schnittpunkte mit k₁ sind die Eckpunkte P₃ und P₁₄ des Siebzehnecks.
13. Je siebenmaliges Abtragen der Sehne d₁ = Vorlage:Overline von k₁ auf k₁ – ab dem Eckpunkt P₃ entgegen dem Uhrzeigersinn und ab dem Eckpunkt P₁₄ im Uhrzeigersinn; Schnittpunkte mit k₁ sind alle restlichen Eckpunkte des Siebzehnecks.
14. Verbinden der so gefundenen Punkte.

Gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels als konstruierte Strecke

Das folgende Konstruktionsprinzip nutzt als Ansatz die gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels

$\cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)=\frac{1}{16}(-1+\sqrt{17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{2(17-\sqrt{17})}-2\sqrt{2(17+\sqrt{17})}}).$

Zuerst wird auf einer Zahlengeraden der Hauptteil der Formel ohne den Faktor $\frac{1}{16}$ abgebildet. Es folgt die geometrische Division mit dem Divisor $16$ und schließt mit einer zehnfachen Vergrößerung einer Dreieckseite ab, deren Länge dem Kosinus des Zentriwinkels entspricht.

Hauptteil der Formel, ohne Faktor $\frac{1}{16}$

Siebzehneck, Hauptteil der Formel, ohne Faktor $\frac{1}{16}$, Konstruktionsskizze

1. Zeichne die Zahlengerade $s_1$ und bestimme darauf Punkt $A$, die Strecke $\overline{AB}=1$ und $\overline{AC}=17\cdot \overline{AB}.$
2. Errichte die Zahlengerade $s_2$ durch Punkt $A$ als Senkrechte zur Zahlengerade $s_1$ und bestimme darauf die Strecke $\overline{AD}=4\cdot \overline{AB}$, dabei ist Punkt $D=0$ auf $s_2.$
3. Ziehe durch $D$ die zweite Zahlengerade $s_3$ als Parallele zur $s_1.$
4. Halbiere die Strecke $\overline{AC},$ als Schnittpunkt ergibt sich Punkt $F.$
5. Zeichne den Halbkreis um $F$ ab $C$ und eine Parallele zur Zahlengeraden $s_2$ ab Punkt $B$ bis zum Halbkreis, als Schnittpunkt ergibt sich $G.$
6. Verbinde den Punkt $A$ mit $G$, die so erhaltene Strecke $\overline{AG}=\sqrt{17}.$
7. Ziehe einen Halbkreis um Punkt $A$ mit dem Radius $\overline{AB}$, als Schnittpunkt ergibt sich $H=-1$ auf $s_1.$
8. Übertrage ab Punkt $H$ die Strecke $\overline{AG}=\sqrt{17}$ auf die Zahlengerade $s_1$, als Schnittpunkt ergibt sich $I=-1+\sqrt{17}.$
9. Zeichne eine Parallele zur Zahlengeraden $s_2$ ab Punkt $I$ bis $s_3$, dabei ergibt sich der Schnittpunkt $J.$
10. Bestimme die Strecke $\overline{AK}$ durch Subtraktion der Strecke $\overline{AG}$ von $\overline{AC}$, somit ist $\overline{AK}=17-\sqrt{17}.$
11. Verdopple die Strecke $\overline{AK}$, als Schnittpunkt ergibt sich $L$, somit ist $\overline{AL}=2\cdot (17-\sqrt{17}).$
12. Ziehe den Kreisbogen $b_1:$ $LMK$ und addiere anschließend zum Punkt $K$ die Strecke $\overline{AB}=1$, als Schnittpunkt ergibt sich $N.$
13. Errichte eine Senkrechte auf der Zahlengeraden $s_1$ ab Punkt $N$ bis zum Kreisbogen $b_1$, als Schnittpunkt ergibt sich $O.$
14. Verbinde Punkt $K$ mit $O$, die so erhaltene Strecke $\overline{KO}=\sqrt{2\cdot (17-\sqrt{17})}.$
15. Bestimme die Strecke $\overline{AP}$ durch Addition der Strecke $\overline{KO}$ zur Strecke $\overline{AI}$, somit ist $\overline{AP}=-1+\sqrt{17}+\sqrt{2\cdot (17-\sqrt{17})}.$
16. Fälle das Lot vom Punkt $P$ auf die Zahlengerade $s_3$, als Schnittpunkt ergibt sich $Q.$
17. Bestimme die Strecke $\overline{AT}$ durch dreimalige Addition der Strecke $\overline{AG}$ zur Strecke $\overline{AC}$, als Schnittpunkte ergeben sich $R,S$ und $T,$ somit ist $\overline{AT}=17+3\cdot \sqrt{17}.$
18. Bestimme die Strecke $\overline{AU}$ durch Subtraktion der Strecke $\overline{KO}$ von $\overline{AT}$, somit ist $\overline{AU}=17+3\cdot \sqrt{17}-\sqrt{2\cdot (17-\sqrt{17})}.$
19. Bestimme die Strecke $\overline{SV},$ sie ist gleich lang wie $\overline{AR}=17+\sqrt{17}.$
20. Ziehe den Kreisbogen $b_2:$ $SWV$ und addiere anschließend zum Punkt $V$ die Strecke $\overline{AB}=1$, als Schnittpunkt ergibt sich $A_1.$
21. Errichte eine Senkrechte auf der Zahlengeraden $s_1$ ab $A_1$ bis zum Kreisbogen $b_2$, als Schnittpunkt ergibt sich $B_1.$
22. Verbinde Punkt $V$ mit $B_1$, die so erhaltene Strecke $\overline{V{B}_1}=\sqrt{2\cdot (17+\sqrt{17})}.$
23. Bestimme die Strecke $\overline{A{C}_1}$ durch Subtraktion der Strecke $\overline{V{B}_1}$ von $\overline{AU}$, somit ist $\overline{A{C}_1}=17+3\cdot \sqrt{17}-\sqrt{2\cdot (17-\sqrt{17})}-\sqrt{2\cdot (17+\sqrt{17})}.$
24. Bestimme die Strecke $\overline{A{D}_1}$ durch Subtraktion der Strecke $\overline{V{B}_1}$ von $\overline{A{C}_1}$, somit ist $\overline{A{D}_1}=17+3\cdot \sqrt{17}-\sqrt{2\cdot (17-\sqrt{17})}-2\cdot \sqrt{2\cdot (17+\sqrt{17})}.$
25. Halbiere die Strecke $\overline{A{D}_1}$, als Schnittpunkt ergibt sich $F_1$
26. Ziehe den Kreisbogen $b_3:$ $D_1{G}_1{F}_1$ und addiere anschließend zum Punkt $F_1$ die Strecke $\overline{AB}=1$, als Schnittpunkt ergibt sich $H_1.$
27. Errichte eine Senkrechte auf der Zahlengeraden $s_1$ ab $H_1$ bis zum Kreisbogen $b_3$, als Schnittpunkt ergibt sich $I_1.$
28. Verbinde den Punkt $F_1$ mit $I_1$, die so erhaltene Strecke $\overline{F_1{I}_1}=\sqrt{17+3\cdot \sqrt{17}-\sqrt{2\cdot (17-\sqrt{17})}-2\cdot \sqrt{2\cdot (17+\sqrt{17})}}.$
29. Addiere zur Strecke $\overline{DQ}(=\overline{AP})$ zweimal die Strecke $\overline{F_1{I}_1}$, als Schnittpunkte ergeben sich $J_1$ und $K_1,$ somit ist der Hauptteil der Formel auf $s_3$ konstruiert; die Strecke $\overline{D{K}_1}=-1+\sqrt{17}+\sqrt{2\cdot (17-\sqrt{17})}+2\cdot \sqrt{17+3\cdot \sqrt{17}-\sqrt{2\cdot (17-\sqrt{17})}-2\cdot \sqrt{2\cdot (17+\sqrt{17})}}.$

Geometrische Division mit dem Divisor 16

Siebzehneck, geometrische Division mit dem Divisor 16, Konstruktionsskizze

1. Bestimme die Strecke $\overline{A{L}_1}$ durch Subtraktion der Strecke $\overline{AB}=1$ von $\overline{AC}$, somit ist $\overline{A{L}_1}=16\cdot \overline{AB}.$
2. Fälle das Lot vom Punkt $L_1$ auf die Zahlengerade $s_3$, als Schnittpunkt ergibt sich $M_1.$
3. Zeichne eine Parallele zur Zahlengerade $s_2$ vom Punkt $B$ bis auf $s_3$, als Schnittpunkt ergibt sich $N_1.$
4. Halbiere die Strecke $\overline{AD}$, als Schnittpunkt ergibt sich der Punkt $O_1$, dabei ist $O_1=2$ auf der Zahlengeraden $s_2.$
5. Zeichne eine Parallele zur Zahlengerade $s_3$ ab dem Punkt $O_1$ bis auf die Strecke $\overline{N_{1}B}$, als Schnittpunkt ergibt sich $P_1.$
6. Lege ein Lineal mit seiner Kante an die Punkte $P_1$ und $M_1,$ danach markiere mithilfe der Linealkante auf der Zahlengeraden $s_2$ den Schnittpunkt $Q_1.$ Eine Linie durch $P_1$ nach $M_1$ ist nicht notwendig, sie würde auch zu dicht an der folgenden (grünen) Fuktionslinie sein.
7. Verbinde den Punkt $Q_1$ mit $K_1$, die Strecke $\overline{Q_1{K}_1}$ (grüne Linie) schneidet die Strecke $\overline{O_1{P}_1}$ in einem, wegen des sehr kleinen Dreiecks $\mathrm{\Delta }{O}_1{P}_1{Q}_1$, nicht sichtbaren Punkt; nennen wir den virtuellen Punkt $R_1$.

Somit ist die geometrische Division mit dem Divisor $16$ durchgeführt.

Die virtuelle Strecke $\overline{O_1{R}_1}$ entspricht bereits dem Kosinus des Zentriwinkels:

$\begin{array}{cc}\overline{O_1{R}_1}& =\frac{1}{16}\cdot \overline{D{K}_1}=\frac{1}{16}(-1+\sqrt{17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{2(17-\sqrt{17})}-2\sqrt{2(17+\sqrt{17})}})\\ & =0,9324722294043558\dots \widehat{=}\cos \mu \\ \end{array}$

Um das Siebzehneck fertig konstruieren zu können, bedarf es noch einer starken Vergrößerung der Strecke $\overline{O_1{R}_1}.$

Vorüberlegungen

Betrachtet man zuerst von den beiden ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken $\mathrm{\Delta }{N}_1{M}_1{P}_1$ und $\mathrm{\Delta }{O}_1{P}_1{Q}_1$ (beide nur durch deren Eckpunkte bestimmt) jeweils das Verhältnis der kleinen zur großen Kathete, so zeigt sich mit $\overline{O_1{P}_1}=1$:

$\overline{N_1{P}_1}:\overline{N_1{M}_1}=2:15=\overline{O_1{Q}_1}:1=0,1\bar{3}=0,4:3,$

d. h. bei einer Vergrößerung der kleinen Kathete $\overline{O_1{Q}_1}$ mit dem Faktor $10,$ wird deren Länge

$10\cdot 0,1\bar{3}=1,\bar{3}=\frac{4}{3}[LE].$

Nun zum virtuellen rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{\Delta }{O}_1{R}_1{Q}_1$ mit den beiden Gegebenheiten:

• Kleine Kathete $\overline{O_1{Q}_1},$ ist dieselbe des rechtwinkligen Dreiecks $\mathrm{\Delta }{O}_1{P}_1{Q}_1,$
• Winkel am Scheitel $Q_1,$ durch den Verlauf der Strecke $\overline{Q_1{K}_1}$ (grüne Linie) bestimmt.

Konstruiert man nun, wie im Folgenden beschrieben, ein rechtwinkliges Dreieck, das dem virtuellen rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{\Delta }{O}_1{R}_1{Q}_1$ ähnlich ist und eine kleine Kathete mit der Länge $\frac{4}{3}[LE]$ besitzt, ergibt sich als verwendbare große Kathete nochmals der Kosinus des Zentriwinkels $\mu .$

Siebzehneck, gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels als konstruierte Strecke

Vergrößerung der Seite $\overline{O_1{R}_1}$ des virtuellen rechtwinkligen Dreiecks $\mathrm{\Delta }{O}_1{R}_1{Q}_1$

1. Bestimme den Punkt $S_1$ nahe $M_1,$ als dritten Teil der Strecke $\overline{M_1{L}_1}=4$, es ergibt sich die Länge der Strecke $\overline{S_1{M}_1}=\frac{1}{3}\cdot \overline{M_1{L}_1}=\frac{1}{3}\cdot 4=\frac{4}{3}[LE].$
2. Zeichne eine Parallele zur Zahlengeraden $s_3$ ab dem Punkt $S_1$ bis auf die Strecke $\overline{Q_1{K}_1}$ (grüne Linie), als Schnittpunkt ergibt sich ${R_1}^{\prime }.$
3. Zeichne ab $K_1$ eine Parallele zur Strecke $\overline{M_1{L}_1}$ bis auf $\overline{S_1{R_1}^{\prime }},$ als Schnittpunkt ergibt sich $T_1.$

Das rechtwinklige Dreieck $\mathrm{\Delta }{T}_1{R_1}^{\prime }{K}_1$ ist ähnlich dem virtuellen Dreieck $\mathrm{\Delta }{O}_1{R}_1{Q}_1;$ der Punkt ${R_1}^{\prime }$ ist das Pendant des oben benannten Punktes $R_1.$

Somit ist die Strecke $\overline{T_1{R_1}^{\prime }}=\cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)$ der gesuchte Kosinus des Zentriwinkels $\mu .$

4. Verdoppele die Strecke $\overline{AD}$ auf dem Zahlenstrahl $s_2$ und addiere anschließend dazu geometrisch den Zahlenwert $2$ (Strecke $\overline{A{O}_1}$), es ergeben sich auf $s_2$ die Zahlenwerte $8$ und $10.$
5. Bestimme den Punkt $U_1$ auf $s_2$ beliebig und zeichne ab $U_1$ eine Parallele zu $s_1.$
6. Übertrage die Strecke $\overline{D10}$ auf diese Parallele, als Schnittpunkt ergibt sich ${T_1}^{\prime }.$
7. Ziehe den Umkreis des entstehenden Siebzehnecks um ${T_1}^{\prime }$ durch $U_1,$ dabei ergibt sich der siebzehnte Eckpunkt $E_{17}$.
8. Übertrage die Strecke $\overline{T_1{R_1}^{\prime }}(=cos\mu )$ ab ${T_1}^{\prime }$ auf den Radius des Umkreises, als Schnittpunkt ergibt sich der Punkt ${R_1}^{″}.$
9. Errichte eine Senkrechte auf $\cos \mu$ ab ${R_1}^{″}$ entgegen dem Uhrzeigersinn bis zum Kreis, als Schnittpunkt ergibt sich $E_1,$ der erste Eckpunkt des Siebzehnecks.
10. Verbinde den Eckpunkt $E_1$ mit $E_{17}$, somit ist die erste Seite $a$ des Siebzehnecks exakt konstruiert.
11. Abschließend trage die Strecke $\overline{E_{17}{E}_1}$ noch fünfzehnmal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis ab. Nach dem Verbinden der benachbarten Eckpunkte ergibt sich das regelmäßige Siebzehneck $E1\dots E17$.

Weblinks

Parallele hier im Kapitel Grundkonstruktionen

Herbert W. Richmond 1893 Siebzehneck Beschreibung und Siebzehneck Abbildung (Fig. 6)