Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Siebeneck

Siebeneck (Heptagon)

Näherungskonstruktion (!) für das regelmäßige Siebeneck, auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung darstellbar.

Die gepunkteten Linien mit den daraufliegenden Punkten, dienen als Hilfe für die Berechnung der Seite des Siebenecks.

01-Siebeneck-Approximation-1

Konstruktion

1. Zeichne um einen Punkt M einen Kreis - den späteren Umkreis des Siebenecks - mit Radius r.
2. Zeichne zwei zueinander senkrechte Geraden durch den Mittelpunkt. Einer der Schnittpunkte mit dem Kreis ist die erste Ecke A des Siebenecks.
3. Teile die Strecke Vorlage:Overline in drei Teile, es ergeben sich die Punkte J und K
4. Zeichne einen Halbkreis um den Mittelpunkt M mit Radius Vorlage:Overline, er schneidet die Strecke Vorlage:Overline im Punkt L.
5. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt A mit Radius r ab Punkt M, er schneidet den Halbkreis im Punkt N.
6. Zeichne eine Gerade ab Punkt L durch Punkt N etwas über den Umkreis hinaus.
7. Errichte eine Senkrechte zur Gerade, die durch Punkt N geht, ab Punkt A bis sie den Umkreis im Punkt O schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt P.
8. Errichte eine Senkrechte zur Strecke Vorlage:Overline im Punkt J bis sie die Strecke Vorlage:Overline im Punkt Q schneidet.
9. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt H mit Radius r, es ergibt sich der Schnittpunkt R auf dem Umkreis.
10. Errichte eine Senkrechte zur Strecke Vorlage:Overline durch Punkt R, sie halbiert die Strecke Vorlage:Overline im Punkt S.
11. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt R mit Radius Vorlage:Overline.
12. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt S mit Radius r bis er den Kreisbogen um Punkt R schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt T
13. Zeichne eine Gerade ab Punkt T durch Punkt Q bis zur Gerade, die durch Punkt N geht, es ergibt sich der Schnittpunkt U
14. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt A mit Radius Vorlage:Overline ab Punkt U, er schneidet den Umkreis im Punkt B.
15. Verbinde den Punkt A mit Punkt B, die rote Strecke Vorlage:Overline ist die gesuchte Seite des Siebenecks.
16. Trage die Strecke Vorlage:Overline, ab Punkt B, fünfmal mit dem Zirkel auf dem Umkreis ab.
17. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Siebeneck ABCDEFG

Fehler

Bei einem Umkreis mit Radius r = 1:

• Konstruierte Siebeneckseite s = 0,867767268512597... [LE]
• Soll-Siebeneckseite = s_s = 2 • sin(180°/7) = 0,867767478235116... [LE]
• Absoluter Fehler = s − s_s = -0,000000209722519... = -2,097...E-7 [LE]

Bei einem Umkreis mit Radius r = 10 km wäre die Abweichung der konstruierten Seite ≈ -2,1 mm

Berechnung

Gleichschenkliges Dreieck AMN

1.0$\mathrm{△}AMN$

Gegeben: $\overline{AM}=r$ ; $\overline{AN}=r$ ; $\overline{MN}=\frac{r}{3}$

 

1.1   $\mathrm{\angle }MAN$ Mit dem Kosinussatz ergibt sich:

 

   $\cos (\mathrm{\angle }MAN)=1-\frac{(\frac{r}{3}{)}^2}{2r^2}=1-\frac{1}{18}=\frac{17}{18}$

 

   $\alpha =\mathrm{\angle }MAN=\arccos \left(\frac{17}{18}\right)\approx 19,1881364537209^{\circ }$

1.2 Höhe zur Seite $\overline{AM}$

   $\overline{VN}=r\sin \alpha =r\sqrt{1-{\left(\frac{17}{18}\right)}^2}=\frac{\sqrt{35}}{18}r\approx 0,3286710990610898$

 

1.3    $\overline{MV}=\sqrt{{\overline{NM}}^2-{\overline{NV}}^2}=\frac{1}{18}r$

Rechtwinkeliges Dreieck LJN

2.0 $\mathrm{△}LJN$

Gegeben:

• $\overline{MV}=\frac{1}{18}r$ (aus 1.3)
• $\overline{LM}=\frac{1}{3}r$
• $\overline{JL}=\frac{2}{3}r$
• $\overline{NV}=\frac{\sqrt{35}}{18}r$ (aus 1.2)

2.1 $\overline{LV}=\overline{LM}+\overline{MV}\Rightarrow \overline{LV}=\frac{7}{18}r$

2.2 Hypotenuse $\overline{LN}=\sqrt{{\overline{LV}}^2+{\overline{NV}}^2}\Rightarrow \overline{LN}=\sqrt{\frac{7}{27}}r$

Winkel $\beta =\mathrm{\angle }JLN=\mathrm{\angle }ALP$ ergibt sich aus

2.3 $\beta =\arcsin \frac{\overline{NV}}{\overline{LN}}=\arcsin \left(\frac{\frac{\sqrt{35}}{18}}{\sqrt{\frac{7}{27}}}\right)=\arcsin \left(\frac{\sqrt{15}}{6}\right)$

$\beta \approx 40,202965886569769^{\circ }$

2.4 $\overline{JN}=\sqrt{{\overline{LJ}}^2-{\overline{LN}}^2}=\sqrt{\frac{5}{27}}r$

Rechtwinkeliges Dreieck LAP

3.0 $\mathrm{△}LAP$

Gegeben:

• $\mathrm{△}LAP$ ähnlich zu $\mathrm{△}LJN$ (aus 2.0)
• $\overline{AL}=\frac{4}{3}r=2\overline{LJ}$
• $\overline{NL}=\sqrt{\frac{7}{27}}r$ (aus 2.2)
• $\overline{JN}=\sqrt{\frac{5}{27}}r$ (aus 2.4)

3.1 $\overline{PL}=2\overline{NL}\Rightarrow \overline{PL}=2\sqrt{\frac{7}{27}}r$

3.2 $\overline{AP}=2\overline{JN}\Rightarrow \overline{AP}=2\sqrt{\frac{5}{27}}r$

3.3 $\gamma =\mathrm{\angle }PAL=90^{\circ }-\beta$

oder:

$\gamma =\arccos \sqrt{\frac{5}{12}}=\arcsin \sqrt{\frac{7}{12}}$

 

3.3 $\gamma \approx 49,797034113430231^{\circ }$

Rechtwinkeliges Dreieck JAQ

4.0 $\mathrm{△}JAQ$

Gegeben:

• $\overline{JA}=\frac{2}{3}r$
• $\mathrm{\angle }QAJ=\mathrm{\angle }PAL=\gamma$ (aus 3.3)

4.1

$\overline{QJ}=\overline{JA}\tan (\gamma )=\overline{JA}\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }$

$\overline{QJ}=\overline{JA}\frac{\sqrt{\frac{7}{12}}}{\sqrt{\frac{5}{12}}}$

$\overline{QJ}=\overline{JA}\sqrt{\frac{7}{5}}=\frac{2\sqrt{7}}{3\sqrt{5}}r$

$\overline{QJ}\approx 0,788810637746615r$

4.2.

$\overline{AQ}=\overline{JA}\frac{\overline{JA}}{\cos \gamma }=\overline{JA}\sqrt{\frac{12}{5}}$

$\overline{AQ}=\frac{2\sqrt{12}}{3\sqrt{5}}r=\sqrt{\frac{16}{15}}r\approx 1,032795558988645r$

Gleichseitiges Dreieck HMR

5.0 $\mathrm{△}HMR$

Gegeben:

• $\overline{HM}=r$
• $\overline{SM}=\frac{1}{2}r$
• $\mathrm{\angle }RMS=\delta =60^{\circ }$

5.2 Höhe:

$\overline{RS}=\overline{HM}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}r\approx 0,866025403784439\cdot r$

Rechtwinkeliges Dreieck HAO

6.0 $\mathrm{△}HAO$

Gegeben:

• $\mathrm{△}HAO$ ähnlich $\mathrm{△}LJN$ (aus 2.0) also $\frac{\overline{HA}}{\overline{LJ}}=\frac{\overline{AO}}{\overline{JN}}$
• $\overline{AQ}=\sqrt{\frac{16}{15}}r$ (aus 4.2)
• $\overline{HA}=2r$ ; $\overline{LJ}=\frac{2}{3}\cdot r$ ; $\overline{JN}=\sqrt{\frac{5}{27}}\cdot r$ (aus 2.4)

6.1 $\overline{AO}=\frac{\overline{JN}\cdot \overline{HA}}{\overline{LJ}}=\frac{\sqrt{\frac{5}{27}}\cdot 2}{\frac{2}{3}}r=3\cdot \sqrt{\frac{5}{27}}r=\sqrt{\frac{5}{3}}\cdot r\approx 1,290994448735805\cdot r$

6.2 $\overline{QO}=\overline{AO}-\overline{AQ}=(\sqrt{\frac{5}{3}}-\sqrt{\frac{16}{15}})r=(\sqrt{\frac{25}{15}}-\sqrt{\frac{16}{15}})r=\frac{\sqrt{25}-\sqrt{16}}{\sqrt{15}}r=\frac{1}{\sqrt{15}}r\approx 0,258198889747161r$

Stumpfwinkeliges Dreieck RST

7.0 $\mathrm{△}RST$

Gegeben:

• $\overline{TR}=\overline{QO}=\frac{1}{\sqrt{15}}r$ (aus 6.2)
• $\overline{ST}=r$
• $\overline{RS}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$ (aus 5.2)

7.1 Nach dem Kosinussatz gilt:

$\cos (\mathrm{\angle }SRT)=\cos (ϵ)=\frac{{\overline{TR}}^2+{\overline{RS}}^2-{\overline{ST}}^2}{2\overline{TR}\cdot \overline{RS}}=\frac{\frac{1}{15}+\frac{3}{4}-1}{2\cdot \frac{1}{\sqrt{15}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{4+45-60}{60}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{-11\sqrt{5}}{60}$

$ϵ=\arccos \left(\frac{-11\sqrt{5}}{60}\right)\approx 114,201429828962958^{\circ }$

7.2 Berechnung $\mathrm{\angle }WTR$ und $\cos \mathrm{\angle }WTR$

(Berechnung indirekt, um den arithm. Ausdruck zu erhalten)

$\mathrm{\angle }WTR=\zeta =ϵ-90^{\circ }$

Mit dem Additionstheorem:

$\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

ergibt sich:

$\cos \zeta =\sin ϵ=\sqrt{1-{\cos }^2(ϵ)}=\sqrt{1-{\cos }^2(ϵ)}=\frac{\sqrt{2995}}{60}$

$\zeta \approx 24,201429828962958$

7.3 Höhe $\overline{WT}$ von $\mathrm{△}RST$ zur Seite $\overline{RS}$

$\overline{WT}=\overline{TR}\cdot \cos \zeta =\frac{1}{\sqrt{15}}\cdot \frac{\sqrt{2995}}{60}\cdot r=\frac{\sqrt{599}}{60\sqrt{3}}\cdot r$

$\overline{WT}\approx 0,235505759935852\cdot r$

Rechtwinkeliges Dreieck TWR

8.0 $\mathrm{△}TWR$

Gegeben:

• $\overline{RT}=\overline{QO}=\frac{1}{\sqrt{15}}\cdot r$ (aus 6.2)
• $\overline{WT}=\frac{\sqrt{599}}{60\sqrt{3}}\cdot r$ (aus 7.3)

8.1

$\overline{WR}=\sqrt{{\overline{RT}}^2-{\overline{WT}}^2}=\sqrt{\frac{1}{15}-\frac{599}{60^2\cdot 3}}\cdot r=\sqrt{\frac{720-599}{60^2\cdot 3}}\cdot r=\sqrt{\frac{121}{60^2\cdot 3}}\cdot r=\frac{11}{60\sqrt{3}}\cdot r$

$\overline{WR}\approx 0,105847549351431\cdot r$

Rechtwinkeliges Dreieck QXT

9.0 $\mathrm{△}QXT$

Gegeben:

• $\overline{WT}=\frac{\sqrt{599}}{60\sqrt{3}}\cdot r$ (aus 7.3)
• $\overline{SJ}=\frac{5}{6}\cdot r$ (aus Zeichnung)

9.1

$\overline{XQ}=\overline{SJ}-\overline{WT}=(\frac{5}{6}-\frac{\sqrt{599}}{60\sqrt{3}})\cdot r=\frac{50\sqrt{3}-\sqrt{599}}{60\sqrt{3}}\cdot r$

$\overline{XQ}\approx 0,597827573397482\cdot r$

9.2

$\overline{XT}=\overline{RS}+\overline{WR}-\overline{QJ}$

mit

• $\overline{RS}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$ (aus 5.2)
• $\overline{WR}=\frac{11}{60\sqrt{3}}\cdot r$ (aus 8.1)
• $\overline{QJ}=\frac{2\sqrt{7}}{3\sqrt{5}}\cdot r$ (aus 4.1)

ergibt sich:

$\overline{XT}=(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{11}{60\sqrt{3}}-\frac{2\sqrt{7}}{3\sqrt{5}})\cdot r=(\frac{90+11}{60\sqrt{3}}-\frac{2\sqrt{7}}{3\sqrt{5}})\cdot r=\left(\frac{101-8\sqrt{105}}{60\sqrt{3}}\right)\cdot r$

$\overline{XT}\approx 0,183062315389255\cdot r$

9.3 Berechnung $\mathrm{\angle }XTQ=\eta$

$\tan (\eta )=\frac{\overline{XQ}}{\overline{XT}}=\frac{50\sqrt{3}-\sqrt{599}}{101-8\sqrt{105}}$

$\eta =\arctan \left(\frac{50\sqrt{3}-\sqrt{599}}{101-8\sqrt{105}}\right)=\arctan \left(\frac{p}{q}\right)$  mit  $p=50\sqrt{3}-\sqrt{599};q=101-8\sqrt{105}$

$\eta \approx 72,974753574847806^{\circ }$

Rechtwinkeliges Dreieck QPU

10.0 $\mathrm{△}QPU$

Gegeben:

• $\overline{AQ}=\sqrt{\frac{16}{15}}r$ (aus 4.2)
• $\overline{AP}=2\sqrt{\frac{5}{27}}r$ (aus 3.2)
• $\overline{PL}=2\sqrt{\frac{7}{27}}r$ (aus 3.1)
• $\tan \eta =\frac{50\sqrt{3}-\sqrt{599}}{101-8\sqrt{105}}$ (aus 9.3)

10.1

$\overline{QP}=\overline{AQ}-\overline{AP}=(\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{15}}-\frac{2\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{27}})r=\left(\frac{4\cdot 3-2\cdot 5}{\sqrt{27\cdot 5}}\right)r=\frac{2}{\sqrt{135}}\cdot r$

$\overline{QP}\approx 0,172132593164774\cdot r$

10.2 Berechnung $\tan \mathrm{\angle }PQU=\theta$

$\tan \beta =\frac{\overline{AP}}{\overline{LP}}=\frac{2\sqrt{\frac{5}{27}}}{2\sqrt{\frac{7}{27}}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

$\theta =\eta -\beta$

Mit dem Additionstheorem

$\tan (\eta -\beta )=\frac{\tan \eta -\tan \beta }{1+\tan \eta \tan \beta }$

ergibt sich:

$\tan \theta =\frac{\frac{50\sqrt{3}-\sqrt{599}}{101-8\sqrt{105}}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}}{1+\frac{50\sqrt{3}-\sqrt{599}}{101-8\sqrt{105}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}}=\frac{\frac{p}{q}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}}{1+\frac{p}{q}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}}$  mit  $p=50\sqrt{3}-\sqrt{599};q=101-8\sqrt{105}$

$\tan \theta =\frac{\sqrt{7}\cdot (50\sqrt{3}-\sqrt{599})-\sqrt{5}\cdot (101-8\sqrt{105})}{\sqrt{5}\cdot (50\sqrt{3}-\sqrt{599})+\sqrt{7}\cdot (101-8\sqrt{105})}=\frac{\sqrt{7}\cdot p-\sqrt{5}\cdot q}{\sqrt{5}\cdot p+\sqrt{7}\cdot q}$  mit  $p=50\sqrt{3}-\sqrt{599};q=101-8\sqrt{105}$

$\tan \theta \approx 0,643759341824444$

$\theta \approx 32,771787688277979^{\circ }$

10.3

$\overline{PU}=\overline{QP}\cdot \tan \theta =\frac{2}{\sqrt{135}}\cdot \frac{\sqrt{7}\cdot (50\sqrt{3}-\sqrt{599})-\sqrt{5}\cdot (101-8\sqrt{105})}{\sqrt{5}\cdot (50\sqrt{3}-\sqrt{599})+\sqrt{7}\cdot (101-8\sqrt{105})}\cdot r$

$\overline{PU}=\frac{2}{\sqrt{135}}\cdot \frac{\sqrt{7}\cdot p-\sqrt{5}\cdot q}{\sqrt{5}\cdot p+\sqrt{7}\cdot q}\cdot r$  mit  $p=50\sqrt{3}-\sqrt{599};q=101-8\sqrt{105}$

$\overline{PU}\approx 0,110811964882290\cdot r$

Rechtwinkeliges Dreieck APU

11.0 $\mathrm{△}APU$

Gegeben:

• $\overline{AP}=2\sqrt{\frac{5}{27}}r$ (aus 3.2)
• $\overline{PU}=\frac{2}{\sqrt{135}}\cdot \frac{\sqrt{7}\cdot (50\sqrt{3}-\sqrt{599})-\sqrt{5}\cdot (101-8\sqrt{105})}{\sqrt{5}\cdot (50\sqrt{3}-\sqrt{599})+\sqrt{7}\cdot (101-8\sqrt{105})}\cdot r$ (aus 10.3)

11.1

Die Länge der Siebeneckseite entspricht Vorlage:Overline und beträgt:

$\overline{AU}=\sqrt{{\overline{AP}}^2+{\overline{PU}}^2}=\sqrt{\frac{20}{27}+\frac{4}{135}\cdot \frac{7(8099-100\sqrt{1797})+5(16921-1616\sqrt{105})-2\sqrt{35}(50\sqrt{3}-\sqrt{599})(101-8\sqrt{105})}{5(8099-100\sqrt{1797})+7(16921-1616\sqrt{105})+2\sqrt{35}(50\sqrt{3}-\sqrt{599})(101-8\sqrt{105})}}\cdot r$

$s=\overline{AU}\approx 0,86776726851259754370992295342964r$

Vereinfacht:

$s=\overline{AU}=\sqrt{\frac{20}{27}+\frac{4}{135}\cdot \frac{7p^2+5q^2-2\sqrt{5\cdot 7}\cdot p\cdot q}{5p^2+7q^2+2\sqrt{5\cdot 7}\cdot p\cdot q}}\cdot r$  mit  $p=50\sqrt{3}-\sqrt{599};q=101-8\sqrt{105}$