Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Dreizehneck

Dreizehneck (Tridecagon)

• Das regelmäßige Dreizehneck ist nicht als (exakte) Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

Konstruktion

Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mit Hilfsmittel

Die folgende Darstellung ist eine Weiterführung der Konstruktionskizze nach Andrew Mattei Gleason aus dem Jahr 1988, mit dem Hilfsmittel Tomahawk zur Dreiteilung eines Winkels (siehe Weblinks).

Animation der Konstruktionsskizze

Dreizehneck, Konstruktionsskizze mit Tomahawk (hellblau)

Für das Dreizehneck beginnt man im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems mit einem Kreis um Punkt $O(0,0)$ mit Radius $12$. Es folgt die Festlegung des Punktes $A_{13}(12,0)$. Um den Punkt $P(\sqrt{13}-1,0)$ zu erhalten, werden zunächst die Zahlenwerte $1$, als zwölfter Teil von $\overline{O13}$, sowie $13$ bestimmt, die Strecke $\overline{O13}$ halbiert und um deren Mittelpunkt der Thaleskreis gezogen. Die danach errichtete Senkrechte auf $\overline{O13}$ ab $1$ schneidet den Thaleskreis in $E$. Die Verbindung des Punktes $O$ mit $E$ ergibt $\sqrt{13}$ für das Eintragen des Punktes $P(\sqrt{13}-1,0)$. Im Anschluss die Zahlenwerte $5$ und $7$ auf $\overline{O13}$ ermitteln sowie die Punkte $Q(5-\sqrt{13},0)$ und $R(7+\sqrt{13},0)$ einzeichnen.

Zum Finden der Punkte $K$ und $L$ wird zuerst der Zahlenwert $6$ auf $\overline{O13}$ festgelegt und eine Senkrechte durch die $6$ errichtet. Zieht man nun einen Kreisbogen um $R$ durch $Q$, schneidet er die Senkrechte in $K(6,\sqrt{3}\cdot (\sqrt{13}+1))$ und $L(6,-\sqrt{3}\cdot (\sqrt{13}+1))$. Nach dem Verbinden der Punkte $K$ und $L$ mit $P$ sowie dem Ziehen eines Kreises um $P$ durch $K$, wird der Winkel $LPK$ mit einer frei wählbaren Methode gedrittelt. Hier z. B. geschieht dies mithilfe eines sogenannten Tomahawks, dabei ergeben sich die Punkte $S$ und $T$. Eine Gerade durch $S$ und $T$ ergibt $A_1$ und $A_{12}$, die Eckpunkte eines regelmäßigen Dreizehnecks $A_1,\dots ,A_{13}$ sind. Die übrigen Eckpunkte können durch Verwendung des Kreisbogens $O{A}_{13}{A}_1$ nacheinander gefunden werden.

Näherungskonstruktion bei gegebenem Umkreis

1. Es sei ein Kreis um $M$ mit beliebigem Radius $\overline{AM}$.
2. Gerade durch $A$ und $M$ ergibt Schnittpunkt $E_1$.
3. Gerade senkrecht zu $\overline{A{E}_1}$ durch $M$ ergibt Schnittpunkte $B$ und $C$.
4. Strecken $\overline{AD}=\frac{1}{10}\cdot \overline{AM}=\overline{AF}=\overline{FG}=\overline{GH}=\overline{HI}$ eintragen.
5. Kreis um $M$ durch $D$ ergibt Schnittpunkte $K$ und $O$.
6. Strecke $\overline{DJ}=\overline{JA}$, Kreis um $M$ durch $J$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt $L$, dessen Abstand zu Punkt $E_1$ ist gleich der Strecke $\overline{DI}$. In der Darstellung beschrieben als $|E_{1}L|=\overline{DI}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von $N$ als $|CN|=\overline{IJ}$ bis $Y$ als $|CY|=\overline{CX}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab $Y$ durch $W$ bis sie die äußere Kreislinie in $Z$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt $Z$ durch $V$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in $A_1$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von $B_1$ bis $J_1$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Die Verbindung von $J_1$ mit $M$ schneidet den innersten Kreis in $E_2$, als zweiten Eckpunkt des entstehenden Dreizehnecks.
10. Trage auf den Umkreis ab dem Eckpunkt $E_2$ die Strecke $\overline{E_1{E}_2}$, sie entspricht der Seitenlänge $a$ des Dreizehnecks, elfmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

• Somit ergibt sich:

Vorlage:Blau

Ergebnis

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

• Konstruierte Seitenlänge des Dreizehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen) $a=0,478631328575115[LE]$
• Seitenlänge des Dreizehnecks $a_{Soll}=r\cdot 2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{13}\right)=0,478631328575115534...[LE]$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:

Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler $F_a=a-a_{SOLL}=0,0[LE]$

• Konstruierter Zentriwinkel des Dreizehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 14 Nachkommastellen) $\mu =27,69230769230769^{\circ }$
• Zentriwinkel des Dreizehnecks ${\mu }_{SOLL}=\left(\frac{360^{\circ }}{13}\right)=27,{\overline{692307}}^{\circ }$
• Absoluter Winkelfehler vom konstruierten Zentriwinkel:

Bis zu den max. angezeigten 14 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler ${\mu }_k-\mu =0^{\circ }$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

Weblinks

• Gleason, Andrew Mattei (March 1988). "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon p. 192–194 (p. 193 Fig.4)"

• GeoGebra