Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ 257-Eck

257-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Konstruktion

Das regelmäßige 257-Eck, im englischen Sprachraum 257-gon, ist zwar als klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal theoretisch möglich, kann aber wegen der sehr hohen Anzahl und Dichte der erforderlichen Linien nicht übersichtlich abgebildet werden.

Die im Jahre 1991 veröffentlichte Konstruktionsmethode von Duane W. DeTemple unter Verwendung des sogenannten Carlyle-Kreises, ist deutlich einfacher, verwehrt aber wegen der dicht neben- und übereinander liegenden 150 Hilfskreisen den erforderlichen Durchblick.

Erlaubt man jedoch neben Zirkel und Lineal ein zusätzliches Hilfsmittel für die Teilung des 90-Grad-Winkels in n gleich große Winkel, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, ist eine gut nachvollziehbare exakte Konstruktion der ersten Ecke E₁ und damit die Seitenlänge des 257-Ecks darstellbar.

Exakte Konstruktion der Seitenlänge mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

257-Eck, exakte Konstruktion der 1. Seite mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Würde der gleiche Ansatz wie beim Elfeck angewandt werden, d. h. den Umkreisradius zuerst in 257 gleiche Abschnitte teilen und anschließend den vierten Teilungspunkt zur Konstruktion des Mittelpunktswinkels μ nutzen, wäre z.B. bei einem Umkreisradius r = 100 mm der Abstand von einem zum nächsten Teilungspunkt etwas kleiner als 0,4 mm.

Eine machbare Alternative zeigt die folgende Konstruktion. Übrigens ist sie auch mit realem Zirkel, Lineal und z. B. mithilfe der Quadratrix in Form einer Schablone auf einem Blatt Papier im Format DIN A4 realisierbar.

Unter Verwendung der Quadratrix wird nicht zuerst der erste Eckpunkt E₁ des 257-Ecks gesucht, sondern der sechzehnte Eckpunkt E₁₆.

Der Eckpunkt $E_{16}$ lässt sich auf folgende Art und Weise finden.

Für den Mittelpunktswinkel $\mu$ des Kreisausschnittes $O{E}_{257}{E}_{16}$ gilt

$\mu =16\cdot \frac{360^{\circ }}{257}=22,41245..{.}^{\circ }$,

mit Berücksichtigung des Mittelpunktswinkels $90^{\circ }$ des Viertelkreises erhält man

$\frac{1}{\mu }\cdot 90^{\circ }=\frac{257\cdot 90^{\circ }}{16\cdot 360^{\circ }}=4\frac{1}{64}=4,015625.$

Diese Dezimalzahl ist mithilfe des dritten Strahlensatzes mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Die Länge der Strecke $\overline{OM}$ in Längeneinheiten [LE], sprich der Abstand vom Mittelpunkt $O$ des Umkreises bis zum Funktionspunkt $M$ errechnet sich aus

$\overline{OM}=\frac{\mu }{90^{\circ }}=\frac{16\cdot 360^{\circ }}{257\cdot 90^{\circ }}=\frac{64}{257}=\frac{1}{4,015625}=0,249027\dots$ [LE]

Der der Wert des Quotienten $\frac{1}{4,015625}$ ist ebenso mit Zirkel und Lineal mithilfe des dritten Strahlensatzes konstruierbar.

Die fünf Hauptschritte der Konstruktion

1. Schema
2. Zahl 4,015625 (mithilfe des dritten Strahlungssatzes)
3. Einheitskreis mit Quadratrix des Hippias
4. Strecke Vorlage:Overline aus dem Quotient 1 : 4,015625 (mithilfe des dritten Strahlungssatzes)
5. Eckpunkt E₁

Schema

257-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias, Konstruktion des Schemas

1. Bestimme den Punkt A.
2. Zeichne die Strecke Vorlage:Overline mit der Länge 1.
3. Errichte eine zu Vorlage:Overline senkrechte Strecke Vorlage:Overline mit der Länge 1.
4. Konstruiere eine Strecke Vorlage:Overline parallel zur Strecke Vorlage:Overline, etwas länger als 1.
5. Zeichne eine Gerade parallel zur Strecke Vorlage:Overline durch den Punkt A mit einer kurzen Unterbrechung nahe der Strecke Vorlage:Overline, d. h. Vorlage:Overline und die Gerade haben keinen Schnittpunkt.
6. Teile die Strecken Vorlage:Overline in 10 gleiche Abschnitte, aber zeichne nur die Teilungspunkte (Teilungspunkt im weiteren Verlauf mit TP bezeichnet) TP1 bis TP3 und TP5 bis TP7 ein.
7. Projiziere die TPs der Strecke Vorlage:Overline auf die Strecke Vorlage:Overline und ergänze darauf TP4.
8. Ziehe eine gerade Linie vom Punkt C durch TP1 der Strecke Vorlage:Overline sowie eine gerade Linie vom Punkt B durch TP1 der Strecke Vorlage:Overline, jeweils bis zur Geraden die durch A verläuft, es ergeben sich die Scheitelpunkte C₁ bzw. B₁.
9. Verbinde TP1 von Strecke Vorlage:Overline mit TP1 von Strecke Vorlage:Overline, es ergibt die Strecke Vorlage:Overline.

Zahl 4,015625

257-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias, Konstruktion der Zahl 4,015625

10. Verbinde TP5 (letzte Nachkommastelle der Zahl 4,015625) mit C₁, es ergibt den Schnittpunkt 5 auf Vorlage:Overline. Der Wert der Zahl 5 ist damit auf 0,5 verkleinert, eingetragen wird aber 5.
11. Addiere 5 zum TP2 auf Vorlage:Overline, es ergibt 25.
12. Verbinde 25 mit B₁, es ergibt den Schnittpunkt 25 auf Vorlage:Overline.
13. Greife die Strecke Vorlage:Overline von Vorlage:Overline ab und subtrahiere sie vom TP7 auf Vorlage:Overline, es ergibt 625.
14. Verbinde 625 mit B₁, es ergibt den Schnittpunkt 625 auf Vorlage:Overline.
15. Addiere 625 zum TP5 auf Vorlage:Overline, es ergibt 5625.

$\Rightarrow$ Zusätzlicher Hilfsstrahl wird eingearbeitet:

16. Bestimme den Punkt E auf Vorlage:Overline, mit Vorlage:Overline ungefähr ein Viertel der Länge von Vorlage:Overline.
17. Errichte eine Senkrechte zur Strecke Vorlage:Overline ab E bis auf die Strecke Vorlage:Overline, es ergibt den Schnittpunkt F.
18. Ziehe eine gerade Linie vom Punkt C durch F bis zur Strecke Vorlage:Overline, es ergibt den Schnittpunkt C₂.

$\Rightarrow$ Es geht weiter mit 5625

19. Verbinde 5625 mit C₂, es ergibt 5625 auf der Strecke Vorlage:Overline.
20. Addiere 5625 zum TP1 auf Vorlage:Overline, es ergibt 15625.
21. Verbinde 15625 mit C₁, es ergibt den Schnittpunkt 15625 auf Vorlage:Overline.

$\Rightarrow$ Da die nächste Dezimalstelle eine 0 (Null) ist, muss der bisher hierher konstruierte Wert 0,15625 nochmals durch 10 geteilt werden, bevor er weiter verwendet werden kann.

22. Verbinde 15625 mit B₁, es ergibt den Schnittpunkt 015625 auf Vorlage:Overline, die Unterbrechung der Geraden ermöglicht eine Markierung des Punktes 015625.
23. Greife die Strecke Vorlage:Overline von Vorlage:Overline ab und subtrahiere sie vom TP5 auf Vorlage:Overline, somit ist die Zahl 4,015625 fertig konstruiert.

Einheitskreis mit Quadratrix des Hippias

257-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias, Einheitskreis und Quadratrix

24. Halbiere die Strecke Vorlage:Overline, es ergibt den Schnittpunkt G.
25. Bestimme den Mittelpunkt O für den Umkreis des 257-Ecks mit dem Radius Vorlage:Overline = Vorlage:Overline = 1.
26. Zeichne den Umkreis um O, es ergibt den Schnittpunkt E₂₅₇ auf der Geraden.
27. Errichte eine zu Vorlage:Overline senkrechte Strecke Vorlage:Overline.
28. Mit den noch fehlenden Seiten (Länge 1) vervollständige das Quadrat über Vorlage:Overline.
29. Zeichne die Quadratrix ein mit der Parameterkurve $\gamma :(0,\frac{\pi }{2}]\to {ℝ}^2$:

$\gamma (t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)$

mit

$\begin{array}{cc}x(t)& =\{\begin{array}{cc}t\cot \left(\frac{\pi t}{2\cdot 1}\right)& ,0\le t\le 1\end{array}\\ y(t)& =t\end{array}$

Strecke Vorlage:Overline aus dem Quotient 1 : 4,015625

257-Eck, exakte Konstruktion der 1. Seite mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

30. Verlängere die Strecke Vorlage:Overline bis zur Strecke Vorlage:Overline, es ergibt den Schnittpunkt I.
31. Errichte eine Senkrechte im Punkt G bis zur Strecke Vorlage:Overline, es ergibt den Schnittpunkt J.
32. Ziehe eine Parallele ab der konstruierten Zahl 4,015625 bis zur Strecke Vorlage:Overline, es ergibt den Schnittpunkt K.
33. Ziehe eine gerade Linie vom Punkt K durch I bis zur Strecke Vorlage:Overline, es ergibt den Schnittpunkt L.
34. Verbinde Punkt J mit L, es ergibt den Schnittpunkt M auf Vorlage:Overline, somit ist die Funktionsstrecke Vorlage:Overline konstruiert.

Eckpunkt E₁₆ bis E₁

35. Ziehe eine Parallele zu Vorlage:Overline ab dem Punkt M bis zur Quadratrix, es ergibt den Schnittpunkt N.
36. Ziehe eine gerade Linie vom Mittelpunkt O durch N bis zur Kreislinie, damit ergibt sich der sechzehnte Eckpunkt E₁₆ des 257-Ecks.
37. Die abschließende vierfache Winkelhalbierung erzeugt die Eckpunkte $E_8$, $E_4$, $E_2$ und schließlich $E_1$. Somit entspricht der Abstand |E₂₅₇E₁| exakt der Seitenlänge des 257-Ecks.

Näherungskonstruktion der 1. Seite

Zwar nicht exakt, aber deutlich einfacher ist die folgende Konstruktion.

1. Es sei ein Kreis um $M$ mit beliebigem Radius $\overline{AM}$.
2. Halbgerade durch $A$ und $M$ ergibt Schnittpunkt $E_{257}$.
3. Halbgerade senkrecht zu $\overline{A{E}_{257}}$ durch $M$ ergibt Schnittpunkte $B$ und $C$.
4. Strecken $\overline{AD}=\frac{1}{10}\cdot \overline{AM}=\overline{AF}=\overline{FG}=\overline{GH}=\overline{HI}$ eintragen.
5. Kreis um $M$ durch $D$ ergibt Schnittpunkt $K$.
6. Strecke $\overline{DJ}=\overline{JA}=\overline{AL}$, Kreis um $M$ durch $J$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt $N$, dessen Abstand zu Punkt $K$ ist gleich der Strecke $\overline{AD}$. In der Darstellung beschrieben als $|KN|=\overline{AD}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von $O$ als $|FO|=\overline{MG}$ bis $Z$ als $|AZ|=\overline{CH}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab $Z$ durch $W$ bis sie die äußere Kreislinie in $A_1$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt $A_1$ durch $V$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in $B_1$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von $C_1$ bis $K_1$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Die Verbindung von $K_1$ mit $M$ schneidet den innersten Kreis in $E_4$, als vierten Eckpunkt des entstehenden 257-Ecks.
10. Konstruiere innerhalb des Winkels $E_{257}M{E}_4$ zwei Winkelhalbierende, es ergeben sich die Eckpunkte $E_2$ und $E_1$.

• Somit ergibt sich mit der Strecke $\overline{E_{257}{E}_1}=a$ annähernd die erste Seite des 257-Ecks.

Ergebnis

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

• Konstruierte Seite des 257-Ecks in GeoGebra (Anzeige 15 signifikante Nachkommastellen, gerundet) $\overline{E_{257}{E}_1}=a=2,44475829850863E-2[LE]$
• Seite des 257-Ecks, 15 sigifikante Nachkommastellen, ebenfalls gerundet $a_{SOLL}=2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{257}\right)=2,44475829850863E-2[LE]$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seite $F_a=a-a_{SOLL}=0[LE]$
• Konstruierter Zentriwinkel in GeoGebra (Anzeige 14 signifikante Nachkommastellen, gerundet) $\mu =1,40077821011673^{\circ }$
• Zentriwinkel des 257-Ecks, 14 signifikante Nachkommastellen, ebenfalls gerundet ${\mu }_{SOLL}=\frac{360^{\circ }}{257}=1,40077821011673^{\circ }$
• Absoluter Fehler des konstruierten Zentriwinkels $F_{\mu }=\mu -{\mu }_{SOLL}=0^{\circ }$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen

Bei einem Radius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min) wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge a < 1 mm.