Planimetrie/ Dreieckskonstruktionen/ Dreieck aus drei Höhen

Dreieckskonstruktion 1. Möglichkeit

Skizze unmaßstäblich

Vorüberlegung:

Aus den drei Höhen lässt sich ein Dreieck nicht so ohne weiteres konstruieren. Man kann aber folgende Vorüberlegung anstellen: Die Fläche jedes Dreiecks ist Seitenlänge x Höhe / 2 und zwar für jede Seite gleich. Deshalb besteht ein Zusammenhang zwischen Seitenlängen und Höhen.

(1)   $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$

und damit

(2)   $a\cdot h_a=b\cdot h_b=c\cdot h_c$

Man kann nun in einem beliebigen Dreieck von $C$ aus auf der Seite $b$ die Höhe $h_a$ und auf der Seite $a$ die Höhe $h_b$ antragen (siehe Skizze) nach (2) als Verhältnisgleichung ist

(3)   $\frac{a}{h_b}=\frac{b}{h_a}$   und   (3a)   $\frac{c}{b}=\frac{h_b}{h_c}$

und damit muss nach dem Strahlensatz die Verbindungslinie $d$ parallel zu $c$ laufen.

Skizze unmaßstäblich

Weiter ist dann nach dem Strahlensatz

(4)   $\frac{d}{c}=\frac{h_a}{b}$

(4a)   $d=h_a\cdot \frac{c}{b}$

(3a) in (4a) eingesetzt:

(4b)   $d=\frac{h_a\cdot h_b}{h_c}$

Damit sind für das Hilfsdreieck $CDE$ die drei Seiten bekannt und ist nach dem Kongruenzsatz SSS konstruierbar.

Die eigentliche Dreieckskonstruktion ist nun relativ einfach:

Man konstruiert das Dreieck $CDE$ aus den Seiten $h_a$, $h_b$ und $h_c$. Auf die Seite $d$ fällt man ein Lot zu Punkt $C$ und verlängert dieses auf die Länge $h_c$. Durch den Endpunkt der Höhe $h_c$ zieht man eine Parallele zur Linie $d$ deren Schnittpunkte mit den Verlängerungen von $h_a$ und $h_b$ die Punkte $A$ und $B$ ergeben (siehe Skizze).

Dreieckskonstruktion 2. Möglichkeit

Teil 1: Konstruktion der Strecke d mit dem Strahlensatz

1. Zeichne eine Gerade $g_1$ und trage $\overline{SG}=h_c$ ab.
   
   
2. Konstruiere mit dem Zirkel den Punkt $H$ in einem Abstand von $\overline{SH}=h_c$ und $\overline{GH}=h_b$.
   
   
3. Zeichne das gleichschenklige Dreieck $\mathrm{△}GSH$.
   
   
4. Trage auf beiden Schenkeln die Strecken $\overline{SK}=\overline{SL}=h_a$ ab.
   
   
5. Die Strecke $\overline{KL}=d$ hat die Länge $d=\frac{h_a\cdot h_b}{h_c}$.
   
   

Teil 2: Konstruktion des Dreiecks

1. Zeichne um ein Ende der Strecke $d=\overline{DE}$ (Punkt $D$) einen Kreisbogen mit dem Radius $h_b$ und um das andere Ende (Punkt $E$) einen Kreisbogen mit dem Radius $h_a$. Es entstehen zwei zur Strecke $\overline{DE}$ symmetrische Schnittpunkte ($C$ und $H$).
   
   
2. Zeichne die Geraden $\overline{CD}$ und $\overline{CE}$.
   
   
3. Fälle das Lot von $C$ auf $\overline{DE}$ durch Verbinden der Punkte $C$ und $H$.
   
   
4. Trage auf dieser Lotgerade von $C$ aus die Strecke $h_c$ ab (Endpunkt $G$).
   
   
5. Konstruiere zur Strecke $\overline{DE}$ eine parallele Gerade im Abstand $\overline{FG}$.
   1. Ermittle dazu zuerst mit dem Zirkel den Schnittpunkt eines Bogens um $E$ mit dem Radius $\overline{FG}$ und eines Bogens um Punkt $F$ mit dem Radius $\overline{EG}$.
   2. Verfahre mit einem Bogens um $D$ mit dem Radius $\overline{FG}$ und einem Bogen um $F$ mit dem Radius $\overline{DG}$ genauso.
   3. Verbinde die so gewonnenen Punkte mit einer Geraden.
      
      
6. Die Schnittpunkte dieser Gerade mit den Geraden $\overline{CD}$ und $\overline{CE}$ bildet das gesuchte Dreieck $\mathrm{△}ABC$.
   
   

Durchführbarkeit der Konstruktion

Die beschriebene Konstruktion ist offenbar genau dann durchführbar, wenn $CDE$ konstruiert werden kann. Dies ist genau dann der Fall, wenn $\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}>\frac{1}{h_c}$ usw. gilt, was aber laut Vorbemerkung auch notwendig ist.

Dreieckskonstruktion 3. Möglichkeit

In der folgenden Konstruktion entsteht direkt aus dem sogenannten Hilfsdreieck AB₁C₁ das gesuchte Dreieck ABC.

Vorüberlegungen

Nach der allgemeinen Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Grundlinie $g$ gilt

$A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$ mit verdoppeltem Flächeninhalt gilt

$2A=g\cdot h$ mit der Bedingung der Flächeninhalt $2A$ bleibt unverändert, wird z. B. die Grundlinie $g$ verdoppelt, damit ergibt sich

$2A=2g\cdot \frac{h}{2}$ somit zeigt sich

die Länge der Grundlinie $g$ des Dreiecks verhält sich umgekehrt proportional zur Höhe $h$.

Für das gesuchte Dreieck $ABC$ bedeutet dies:

$a:b=\frac{1}{h_a}:\frac{1}{h_b};b:c=\frac{1}{h_b}:\frac{1}{h_c};a:c=\frac{1}{h_a}:\frac{1}{h_c}$ oder

$a:b:c=\frac{1}{h_a}:\frac{1}{h_b}:\frac{1}{h_c}$ daraus folgt:

Zwei Seitenlängen eines Dreiecks verhalten sich demnach zueinander wie die Kehrwerte der entsprechenden Höhen. Dies bedeutet, ein sogenanntes Hilfsdreieck dessen Seitenlängen (direkt) proportional zu den Höhen $\frac{1}{h_a},$ $\frac{1}{h_b},$ und $\frac{1}{h_c}$ sind, ist ähnlich dem gesuchten Dreieck $ABC.$

Multipliziert man $\frac{1}{h_a}$, $\frac{1}{h_b}$ bzw. $\frac{1}{h_c}$ mit dem Proportionalitätsfaktor $h_a\cdot h_b$, so erhält man für die Seitenlängen $a_1,b_1$ und $c_1$ des Hilfsdreiecks folgende Werte:

$a_1=\frac{h_a\cdot h_b}{h_a}=h_b;b_1=\frac{h_a\cdot h_b}{h_b}=h_a;c_1=\frac{h_a\cdot h_b}{h_c}$

Ist die Seitenlänge $c_1$, als Strecke $\overline{A{B}_1}$, aus den zwei Höhen $h_a$ und $h_b$ mithilfe des 2. Strahlensatzes auf einer Geraden konstruiert, werden die Höhen $h_a$ und $h_b$ als Seiten des Hilfsdreiecks $A{B}_1{C}_1$ eingearbeitet. Abschließend erhält man durch eine zentrische Streckung des Hilfsdreiecks $A{B}_1{C}_1$ das endgültige Dreieck $ABC.$

Konstruktionsplan

Konstruktion mit Hilfsdreieck AB₁C₁, Animation siehe

1. Bezeichne die Höhen unter Berücksichtigung, dass $h_c$ nicht länger als $h_a$ ist.
2. Zeichne eine Gerade $g_1$ und bestimme darauf den ersten Eckpunkt $A$ des späteren Dreiecks.
3. Errichte eine Senkrechte zur Gerade $g_1$ im Punkt $A$ und übertrage darauf die Höhe $h_c$ als Strecke $\overline{AD}$ ab.
4. Konstruiere eine Parallele $g_2$ zur Gerade $g_1$ durch den Punkt $D.$
5. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt $A$ mit dem Radius gleich der Höhe $h_a,$ er schneidet die Gerade $g_2$ im Punkt $E.$
6. Verbinde den Punkt $A$ mit dem Punkt $E.$
7. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt $A$ mit dem Radius gleich der Höhe $h_b.$
8. Errichte eine Senkrechte zur Strecke $\overline{AE}$ im Punkt $A,$ sie erzeugt den Schnittpunkt $F$ auf dem Kreisbogen mit Radius gleich der Höhe $h_b.$
9. Zeichne eine Parallele zur Strecke $\overline{AE}$ ab dem Punkt $F$ bis zur Gerade $g_1,$ es ergibt sich der Schnittpunkt $B_1.$
10. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt $B_1$ mit dem Radius gleich der Höhe $h_b,$ es ergibt sich der Schnittpunkt $C_1$ auf dem Kreisbogen mit dem Radius gleich der Höhe $h_a,$ somit sind die drei Eckpunkte des Hilfsdreiecks $A{B}_1{C}_1$ bestimmt.
11. Zeichne eine Gerade ab dem Punkt $A$ durch den Punkt $C_1$ bis auf die Gerade $g_2,$ es ergibt sich der Schnittpunkt $C.$ Der Punkt $C$ ist der zweite Eckpunkt des späteren Dreiecks.
12. Verbinde den Punkt $B_1$ mit dem Punkt $C_1.$
13. Zeichne eine Parallele zur Strecke $\overline{B_1{C}_1}$ ab dem Punkt $C$ bis auf die Gerade $g_1,$ es ergibt sich der Schnittpunkt $B.$ Der Punkt $B$ ist der dritte Eckpunkt des Dreiecks.
14. Verbinde den Punkt $A$ mit dem Punkt $B,$ somit ist das Dreieck $ABC$ konstruiert.

Beweis

Beweis des Hilfsdreiecks

Seitenlängen des Hilfsdreiecks

Für die Seitenlängen des Hilfsdreiecks $A{B}_1{C}_1$ ergibt sich:

$|A{C}_1|=h_a$ (Konstruktionsplan, 5.)

$|B_1{C}_1|=h_b$ (Konstruktionsplan, 10.)

Die Dreiecke $AF{B}_1$ und $ADE$ sind zueinander ähnlich, da sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Daraus folgt $|A{B}_1|:|AF|=|AE|:|AD|$ und weiter

$|A{B}_1|=\frac{|AF|\cdot |AE|}{|AD|}=\frac{h_b\cdot h_a}{h_c}.$

Seitenverhältnisse im Hilfsdreieck

Aus dem letzten Abschnitt folgt unmittelbar:

$|A{B}_1|:|A{C}_1|=\frac{h_b\cdot h_a}{h_c}:h_a=h_b:h_c$

$|A{C}_1|:|B_1{C}_1|=h_a:h_b$

Übergang zum Dreieck $ABC$

Wegen der Parallelität von $B_1{C}_1$ und $BC$ (Punkt 13. des Konstruktionsplans) sind die Dreiecke $A{B}_1{C}_1$ und $ABC$ zueinander ähnlich. Somit erhält man für die Seitenverhältnisse im Dreieck $ABC$:

$|AB|:|AC|=|A{B}_1|:|A{C}_1|=h_b:h_c$

$|AC|:|BC|=|A{C}_1|:|B_1{C}_1|=h_a:h_b$

Berücksichtigt man, dass die Höhen umgekehrt proportional zu den Seiten sind, so erhält man daraus:

$|AB|:|AC|=c:b$

$|AC|:|BC|=b:a$

Wegen übereinstimmender Seitenverhältnisse kann man daraus schließen, dass das konstruierte Dreieck $ABC$ zum gesuchten Dreieck ähnlich ist.

Da der Abstand zwischen den Geraden $g_1$ und $g_2$ gleich $h_c$ ist (Konstruktionsplan, 3.), hat die Höhe $h_c$ den richtigen Wert, das heißt das konstruierte Dreieck ist nicht nur ähnlich, sondern sogar kongruent zum gesuchten Dreieck.

Berechnung der Dreiecksseiten und des Flächeninhalts

Berechnung

1. Dreieck $AED$

1.1 $\cos (\beta )=\frac{h_c}{h_a}$

2. Dreieck $AF{B}_1$

2.1 $c_1=|A{B}_1|=\frac{h_b}{\cos (\beta )}=\frac{h_b{h}_a}{h_c}$

3. Hilfsdreieck $A{B}_1{C}_1$

3.1 Bezeichnungen:

$a_1=|B_1{C}_1|=h_b$

$b_1=|A{C}_1|=h_a$

$c_1=|A{B}_1|=\frac{h_a{h}_b}{h_c}$

$h_{a1}=|AG|$

3.2 Kosinussatz: ${c_1}^2={a_1}^2+{b_1}^2-2a_1{b}_1\cdot \cos (\gamma )={h_b}^2+{h_a}^2-2h_a{h}_b\cos (\gamma )$

3.3 Folgerung: $\cos (\gamma )=\frac{{h_b}^2+{h_a}^2-{c_1}^2}{2h_a{h}_b}=\frac{{h_b}^2+{h_a}^2-{\left(\frac{h_a{h}_b}{h_c}\right)}^2}{2h_a{h}_b}$

Durch Erweitern mit ${h_c}^2$ ergibt sich daraus

$\cos (\gamma )=\frac{{h_b}^2{h_c}^2+{h_a}^2{h_c}^2-{h_a}^2{h_b}^2}{2h_a{h}_b{h_c}^2}$.

3.4 $\sin (\gamma )=\sqrt{1-{\cos }^2(\gamma )}=\sqrt{1-{\left(\frac{{h_b}^2{h_c}^2+{h_a}^2{h_c}^2-{h_a}^2{h_b}^2}{2h_a{h}_b{h_c}^2}\right)}^2}$

$=\sqrt{\frac{{\left(2h_a{h}_b{h_c}^2\right)}^2-{({h_b}^2{h_c}^2+{h_a}^2{h_c}^2-{h_a}^2{h_b}^2)}^2}{{\left(2h_a{h}_b{h_c}^2\right)}^2}}$

$=\sqrt{\frac{4{h_a}^2{h_b}^2{h_c}^4-{h_b}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_b}^4-2{h_a}^2{h_b}^2{h_c}^4+2{h_a}^2{h_b}^4{h_c}^2+2{h_a}^4{h_b}^2{h_c}^2}{4{h_a}^2{h_b}^2{h_c}^4}}$

$=\sqrt{\frac{2{h_a}^4{h_b}^2{h_c}^2+2{h_a}^2{h_b}^4{h_c}^2+2{h_a}^2{h_b}^2{h_c}^4-{h_b}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_b}^4}{4{h_a}^2{h_b}^2{h_c}^4}}$

$=\frac{\sqrt{2{h_a}^2{h_b}^2{h_c}^2({h_a}^2+{h_b}^2+{h_c}^2)-{h_b}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_b}^4}}{2h_a{h}_b{h_c}^2}$

3.5 $h_{a1}=b_1\cdot \sin (\gamma )=h_a\cdot \sin (\gamma )$

4. Ähnliche Dreiecke: $A{B}_1{C}_1\sim ABC$

4.1 $\frac{h_a}{h_{a1}}=\frac{a}{h_b}$

$a=\frac{h_a{h}_b}{h_{a1}}=\frac{h_a{h}_b}{h_a\sin (\gamma )}=\frac{h_b}{\sin (\gamma )}$

5. Dreieck $ABC$

5.1 Einsetzen des Rechenausdrucks für $\sin (\gamma )$ in die letzte Gleichung ergibt die Seitenlänge $a$:

$a=h_b\cdot \frac{2h_a{h}_b{h_c}^2}{\sqrt{2{h_a}^2{h_b}^2{h_c}^2({h_a}^2+{h_b}^2+{h_c}^2)-{h_b}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_b}^4}}$

$a=\frac{2h_a{h_b}^2{h_c}^2}{\sqrt{2{h_a}^2{h_b}^2{h_c}^2({h_a}^2+{h_b}^2+{h_c}^2)-{h_b}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_b}^4}}$

Entsprechend erhält man die beiden anderen Seitenlängen:

5.2 $b=\frac{2{h_a}^2{h}_b{h_c}^2}{\sqrt{2{h_a}^2{h_b}^2{h_c}^2({h_a}^2+{h_b}^2+{h_c}^2)-{h_b}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_b}^4}}$

5.3 $c=\frac{2{h_a}^2{h_b}^2{h}_c}{\sqrt{2{h_a}^2{h_b}^2{h_c}^2({h_a}^2+{h_b}^2+{h_c}^2)-{h_b}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_b}^4}}$

5.4 Der Flächeninhalt ergibt sich daraus gemäß der Formel $A=\frac{1}{2}a{h}_a$:

$A=\frac{{h_a}^2{h_b}^2{h_c}^2}{\sqrt{2{h_a}^2{h_b}^2{h_c}^2({h_a}^2+{h_b}^2+{h_c}^2)-{h_b}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_c}^4-{h_a}^4{h_b}^4}}$

Dreieckskonstruktion, 4. Möglichkeit

Nachfolgend wird eine relativ einfache Form der Konstruktion aus den drei Höhen erläutert. Diese Lösung kommt ohne jede Vorberechnung aus. Die als $h_a$ gewählte Höhe sollte kleiner als $h_c$ sein.

1. Konstruiere das gleichschenklige $\mathrm{△}HFG$ nach dem Kongruenzsatz SSS aus den Seitenlängen $h_c$ (2 mal) und $h_b$

2. Trage auf den beiden Strecken $h_c$ jeweils die Strecke $h_a$ von Punkt $H$ ab. Man erhält die Punkte $D$ und $E$

3. Die Verbindung der beiden Endpunkte $D$ und $E$ ergibt die Strecke $d$

4. Schlage einen Kreisbogen mit dem Radius $h_a$ um den Punkt $D$

5. Schlage einen weiteren Kreisbogen mit dem Radius $h_b$ um den Punkt $E$

6. Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ergibt den Dreieckspunkt $C$

7. Zeichne eine parallele Strecke zu $\overline{FG}$ im Abstand $h_c$ von Punkt $C$

8. Zeichne eine Strecke von $C$ über $D$ hinaus. Der Schnittpunkt mit der vorherigen Parallelen ergibt Punkt $A$ des gesuchten Dreiecks

9. Zeichne eine Strecke von $C$ über $E$ hinaus. Der Schnittpunkt mit der vorherigen Parallelen ergibt Punkt $B$ des gesuchten Dreiecks

10. Damit ist das $\mathrm{△}ABC$ konstruiert

Weblinks

• Vorlage:W
• Vorlage:W
• Vorlage:W
• Vorlage:W
• Vorlage:W
• Vorlage:W
• Matroids Matheplanet Zum HHH-Fall ein Beispiel für eine Konstruktion, aus dem Buch "geometria – scientiae