Physik des Schlagens/ Dynamik des Rohrstocks

Wir wollen versuchen die Dynamik eines Rohrstocks beim Schlag zu beschreiben. Der einfachste Ansatz besteht darin, den Rohrstock als rotierenden starren Körper zu betrachten. Man erhält damit immerhin die Aussage, dass sich die Spitze des Rohrstocks am schnellsten bewegt. Daher hat dieser Bereich beim Auftreffen auch die größte Wirkung, was gut mit der Alltagserfahrung übereinstimmt. Jedoch berücksichtigt dieses Modell die Flexibilität des Rohrstocks nicht. Bei der Peitsche hatten wir gesehen, dass die Spitze sehr hohe Geschwindigkeiten erreichen kann, viel höhere als die, die sich bei unserem Starrkörpermodell des Rohrstocks ergeben würden. Die Frage ist nun: Gibt es solche hohen Geschwindigkeiten auch beim Rohrstock?

Analytisches Modell

Ich möchte zuerst ein sehr einfaches analytisches Modell vorstellen, welches zugegebenermassen zu stark vereinfacht ist, jedoch den gewünschten Effekt zeigt. Die Größenanordnung des Effektes kann aus ihm wegen der zu starken Vereinfachungen jedoch nur sehr ungenau abgeleitet werden. Dennoch werden wir aus ihm erhalten, dass der untersuchte Effekt in der gesuchten Größenordnung liegen kann, so dass es Sinn macht, ihn numerisch genauer zu untersuchen.

Energieverteilung

Bei einem Schlag mit einem Rohrstock wird dieser beschleunigt bewegt. Wir nehmen an, dass es sich um eine gleichmässige Beschleunigung auf einer Kreisbahn handelt. Wir nehmen ferner für diese Berechnung an, dass die gesamte Masse des Rohrstocks in seinem äußeren Ende konzentriert ist. Durch die Trägheit des Masse wirkt eine Kraft am äußeren Ende auf den Rohrstock.

$F=m\cdot a$

Für die sich daraus ergebende Durchbiegung des Rohrstocks gilt:

$\stackrel{}{s=\frac{F{l}^3}{3EI}}$

Der Rohrstock entspricht also einer Feder mit der Federkonstanten $D$

$D=\frac{F}{s}=\frac{3EI}{l^3}$

Die in dieser Feder gespeicherte Energie ist:

$E_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{1}{2}D{s}^2$

Aus dem Gleichgewicht der Federkraft und der Trägheitskraft erhalten wir:

$D\cdot s=m\cdot a$

Damit haben wir

$E_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{m^2{a}^2}{2D}=\frac{m^2{a}^2{l}^3}{6EI}=\frac{{\rho }^2{l}^2{\pi }^2{r}^4{a}^2{l}^3}{6E\frac{\pi }{4}{r}^4}=\frac{4\pi {\rho }^2{a}^2{l}^5}{6E}$

Für die kinetische Energie erhalten wir entsprechend

$E_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}\pi \rho r^{2}l{a}^2{t}^2$

Wir nehmen an, dass sich die Beschleunigung über einen Viertelkreis erstreckt:

$\frac{\pi l}{2}=s_0=\frac{1}{2}a{t}^2$

Damit haben wir:

$E_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\frac{1}{2}{\pi }^2\rho r^2{l}^{2}a$

und somit für das Verhältnis der Energien:

$\frac{E_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}}{E_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}}=\frac{4\pi {\rho }^2{a}^2{l}^5}{6E}\cdot \frac{2}{{\pi }^2\rho r^2{l}^{2}a}=\frac{8a\rho l^3}{6\pi E{r}^2}=\frac{8\cdot 200\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 350\cdot \frac{\mathrm{k}\mathrm{g}}{{\mathrm{m}}^3}{\left(1\mathrm{m}\right)}^3}{6\pi \cdot 1.6\cdot 10^3\frac{\mathrm{N}}{{\mathrm{m}\mathrm{m}}^2}\cdot {\left(6\mathrm{m}\mathrm{m}\right)}^2}\approx 0.5$

Wir haben eine Beschleunigung von $a=200\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$ angenommen. Diese ist auch realistisch. Der Weltrekord im Handy-Weitwurf beträgt etwa $s=100\mathrm{m}$. Für den schrägen Wurf gilt bei 45 Grad Abwurfwinkel:

$v^2=gs$

Ferner gilt für die gleichförmig beschleunigte Bewegung.

$1\mathrm{m}\approx s_x=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}\frac{v^2}{a}=\frac{gs}{a}$

und somit

$a\approx 500\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Wir sehen, dass kinetische und potentielle Energie bei dünnen Rohrstöcken in der selben Größenordnung liegen.

Kontaktmodell

Es ist interessant, wieviel Energie ein Rohrstock beim Auftreffen auf eine Oberfläche an diese abgibt und wie diese über die Länge verteilt ist. Wir betrachten die Energiemenge $\mathrm{△}E$, die von einem Längenelement des Rohrstock $\mathrm{△}s$ übertragen wird:

$ϵ:=\frac{\mathrm{△}E}{\mathrm{△}s}$

Dieses Verhähltnis hängt sicherlich vom Ort auf dem Rohrstock ab. Wir führen daher die Koordinate $s$ ein, die an der Spitze des Rohrstocks den Wert 0 hat und an seinem anderen Ende die Länge des Rohrstocks $l$ erreicht. Das nun folgende Modell ist sehr stark vereinfacht und sollte daher nicht überbewertet werden. Für die Verteilung des kinetischen Anteils aufgrund der Kreisbewegung nehmen wir an

${ϵ}_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}0}(s)=(l-s)\mu$,

wobei $\mu$ eine Konstante ist, die sich aus der kinetischen Energie des Rohrstocks ergibt. Es soll gelten:

$\underset{0}{\overset{l}{\int }}{ϵ}_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}0}(s)\mathrm{d}s=E_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}$

Womit $\mu$ festgelegt ist.

Für die Verteilung der potentiellen Energie nehmen wir stark vereinfachend eine von $s$ unabhängige, also konstante Verteilung an.

${ϵ}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}0}(s)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$

Auf hier soll wieder gelten:

$\underset{0}{\overset{l}{\int }}{ϵ}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}0}(s)\mathrm{d}s=E_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}}$

Aus der Alltagserfahrung weiss man, dass der Rohrstock beim Auftreffen seine gekrümmte Form verliert und wieder gerade wird. Dies bedeutet, dass er seine potentielle Energie verliert. Er kann nur in dem Bereich Energie auf die Oberfläche übertragen, in dem er auch direkten Kontakt mit ihr hat. Daher ist es nicht völlig abwegig zu vermuten, dass ein Teil des Rohrstocks gerade ist und auf der Oberfläche aufliegt und seine Energie bereits an die Oberfläche abgegeben hat und ein anderer Teil gekrümmt ist und noch nicht mit der Oberfläche in Kontakt steht und daher noch keine Energie an die Oberfläche abgeben kann. Ferner gibt es einen Punkt, an dem diese beiden Bereiche aneinander grenzen und genau dort wird die Energie vom Rohrstock auf die Oberfläche übertragen. Ich gehe nun davon aus, dass die in diesem Punkt vorhandene kinetische Energie an die Oberfläche abgegeben wird. Es scheint mir jedoch anschaulich unmöglich, dass die potentielle Energie, die in diesem Punkt vorhanden ist, ebenfalls auf die Oberfläche übertragen wird. Daher nehme ich an, dass diese in kinetische Energie des noch nicht mit der Oberfläche in Kontakt stehenden Bereiches umgewandet wird. Diese wie auch die oben getroffenen Annahmen stellen sicherlich grobe Vereinfachungen dar, aber sie erlauben, analytische Lösungen für das Problem zu berechnen.

$\begin{array}{ccc}\mathrm{d}{E}_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}/\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}& =& {ϵ}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}0}(s)\mathrm{d}s\\ \mathrm{d}{ϵ}_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}/\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}& =& -\frac{{ϵ}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}0}}{s}\mathrm{d}s\end{array}$

Mit der Nebenbedingung

${ϵ}_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}/\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}(l)=0$

ergibt sich:

${ϵ}_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}/\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}(s)={ϵ}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}0}(-ln(s)+ln(l)))$

Diese Funktion ist singulär in 0. Das macht aber nichts, denn:

$E_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}/\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}(l)=\underset{0}{\overset{l}{\int }}{ϵ}_{\mathrm{k}\mathrm{i}{\mathrm{n}}_{\mathrm{a}}\mathrm{d}\mathrm{d}}(s)\mathrm{d}s=-{ϵ}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}0}(l(\mathrm{l}\mathrm{n}(l)-1)+l\mathrm{l}\mathrm{n}(l))={ϵ}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}0}l=E_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}0}$

Betrachten wir nur den ersten Zentimeter eines ein Meter langen Rohrstocks, so erhalten wir:

$E_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}/\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}(x=1\mathrm{c}\mathrm{m})=-{ϵ}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}0}(x(\mathrm{l}\mathrm{n}(x)-1)+x\mathrm{l}\mathrm{n}(l))=0.056\mathrm{m}{ϵ}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}0}$

Demnach hat der letzte Zentimeter beim auftreffen zusätzlich zu seiner kinetischen Energie seine fünffache potentielle Energie. Da die potentielle Energie etwa halb so groß ist wie die kinetische, ergäbe sich dann die 2.5 fache Gesamtenergie. Die Zahlenwerte sollten wir nicht weiter beachten, da sie aus einem sehr stark vereinfachten Modell abgeleitet wurden. Jedoch ist zu beachten, dass durch einen solchen Mechanismus eine erheblich größere Energie von der Spitze des Stabes übertragen werden kann als man aus der Starrköperrotation erwarten würde. Es könnte also beim Rohrstock einen sehr ähnlichen Effekt wie bei der Peitsche geben. Wir werden im folgenden versuchen, diesen in einer numerischen Simulation weiter zu untersuchen.

Numerisches Modell

Ich wende die Methode der Lagrange-Multiplikatoren an. Wir haben n=3. Als Nebenbedingungen haben wir die Konstanz der Abstände zwischen den Knoten:

$r_i^2={(x_i-x_{i+1})}^2+{(y_i-y_{i+1})}^2,0\le i<n-1$

Der Rohrstock ist im verbogenen Zustand dargestellt. Er wird das Bestreben haben, sich wieder gerade aufzurichten. Dieser Effekt kann durch das Flächenträgheitsmoment und das Elastizitätsmodul beschrieben werden. Hier wollen wir ihn durch kleine Federn an jedem Knoten simulieren. Das durch eine Feder in einem Knoten erzeugte Moment soll proportional zum Winkel zwischen den beiden an diesem Knoten anliegenden Stäben sein.