Moderne Termlogik: Termlogik und Prädikatenkalkül: Die Standardübersetzung (Frege)

Moderne Termlogik

Termlogik und Prädikatenkalkül

Die Standardübersetzung (Frege)

In sehr vielen Lehrbüchern wird die Termlogik als einfaches Anwendungsbeispiel der Prädikatenlogik dargestellt. Hiebei werden die Urteile wie folgt definiert:

Urteil		Definition
$Aab$	:=	$\mathrm{\forall }\alpha (a(\alpha )\Rightarrow b(\alpha ))$
$Eab$	:=	$\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }\alpha (a(\alpha )\wedge b(\alpha ))$
$Iab$	:=	$\mathrm{\exists }\alpha (a(\alpha )\wedge b(\alpha ))$
$Oab$	:=	$\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }\alpha (a(\alpha )\Rightarrow b(\alpha ))$

Diese Darstellung geht auf Frege zurück. Wenn sie auch sinnvoll aussehen, so bringen diese Definitionen doch einige Probleme mit sich, durch die sie sich als für die Formalisierung der Termlogik als ungeeignet erweisen. Wir brauchen nur versuchen, mit Hilfe dieser Definitionen die Regeln $R_1$ bis $R_4$ zu reproduzieren, um das einzusehen: Nach $R_1$ müsste ja für alle beliebigen Terme $a,b$ gelten: $Axy\to Iyx$, was nach den obigen Definitionen das Folgende bedeuten würde:

$\mathrm{\forall }\alpha (a(\alpha )\Rightarrow b(\alpha ))\Rightarrow \mathrm{\exists }\alpha (a(\alpha )\wedge b(\alpha ))$

Diese prädikatenlogische Formel ist nun sicher keine Tautologie (d.h. sie ist nicht allgemeingültig): Wir brauchen für $a$ nur ein "leeres" Prädikat zu wählen; d.h. eines, für das $a(\alpha )$ für alle $\alpha$ falsch ist. Dann ist $\mathrm{\forall }\alpha (a(\alpha )\Rightarrow b(\alpha ))$ wahr, aber $\mathrm{\exists }\alpha (a(\alpha )\wedge b(\alpha ))$ falsch; d.h die Implikation

$\mathrm{\forall }\alpha (a(\alpha )\Rightarrow b(\alpha ))\Rightarrow \mathrm{\exists }\alpha (b(\alpha )\wedge a(\alpha ))$

ist in einem solchen Fall falsch (denn sie hat einen wahren Vordersatz und eine falsche Konklusion).

Die Ungültigkeit von

$Axy\to Iyx$

hat zur Folge, dass sehr viele Gesetze der Termlogik, wie wir sie definiert haben, nicht mehr gültig sind.

Die Abhilfe für dieses Problem scheint auf den ersten Blick einfach zu sein: Man müsste dafür sorgen, dass keine "leeren" Prädikate zulässig sind, was man durch geeignete Erweiterungen der Formeln in der obigen Tabelle erreichen kann. Wir werden aber im nächsten Abschnitt sehen, dass man damit zwar ein Problem (das eben geschilderte) aus dem Weg räumt, aber dafür andere neu erzeugt,