Maxwell-Gleichungen in der klassischen Elektrodynamik/ Greensfunktion in der Elektrodynamik

In der Elektrodynamik werden wir noch eine Greensfunktion benötigen, die folgende Gleichung erfüllt:

$◻G\left(x\right)\equiv (\frac{1}{c^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2)G(x_0,\overrightarrow{x})=4\pi {\delta }^4\left(x\right)$,

wobei $x=(x_0,\overrightarrow{x})=(ct,\overrightarrow{x})$ die Zusammenfassung (ein sog. »Vierervektor«) von Zeit (mal die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c) und dem Ortsvektor sei und

${\delta }^4\left(x\right)=\delta \left(x_0\right){\delta }^3\left(\overrightarrow{x}\right)$

ein Dirac'sches Deltafunktional von diesem Orts-Vierervektor ist. Stellen wir $G\left(x\right)$ als Fouriertransformation

$G\left(x\right)=\int \frac{d^{4}k}{{\left(2\pi \right)}^4}{e}^{ik\cdot x}\tilde{G}\left(k\right)=\int \frac{d{k}_0}{2\pi }{e}^{i{k}_0\cdot x_0}\tilde{G}(k_0,\overrightarrow{x})$

dar (wobei hierin $k=(k_0,\overrightarrow{k})$ ein sog. »Vierer-Wellenvektor« sei und $k\cdot x=k_0{x}_0-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x}$ als »Vierer-Produkt« aufzufassen ist), dann erhalten wir daraus

$4\pi \underset{\delta \left(x_0\right)}{\underbrace{\int \frac{d{k}_0}{2\pi }{e}^{i{k}_0\cdot x_0}}}{\delta }^3\left(\overrightarrow{x}\right)=4\pi {\delta }^4\left(x\right)=◻G\left(x\right)\equiv (\frac{1}{c^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2)G(t,\overrightarrow{x})=-\int \frac{d{k}_0}{2\pi }{e}^{i{k}_0\cdot x_0}(k_0^2+{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2)\tilde{G}(k_0,\overrightarrow{x})$,

d.h. eine Gleichung für die zeitliche Fouriertransformierte $\tilde{G}(k_0,\overrightarrow{x})$ von $G\left(x\right)$:

$(k_0^2+{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2)\tilde{G}(k_0,\overrightarrow{x})=-4\pi {\delta }^3\left(\overrightarrow{x}\right)$.

Diese Gleichung ist invariant unter Drehungen, die ja folgende Eigenschaften besitzen:

$\overrightarrow{x}\to \underset{\_}{R}\overrightarrow{x,}{\underset{\_}{R}}^T\underset{\_}{R}=\underset{\_}{R}{\underset{\_}{R}}^T=\underset{\_}{1}$,

d.h.

${\underset{\_}{R}}^{-1}={\underset{\_}{R}}^T$, $\det \left(\underset{\_}{R}\right)=\det \left({\underset{\_}{R}}^T\right)=\det \left({\underset{\_}{R}}^{-1}\right)=\frac{1}{\det \left(\underset{\_}{R}\right)}\Rightarrow \det \left(\underset{\_}{R}\right)=\det \left({\underset{\_}{R}}^{-1}\right)=\pm 1$.

Mit Hilfe dieser Eigenschaften von Drehungen können wir diese Behauptung beweisen:

$-4\pi {\delta }^3\left(\underset{\_}{R}\overrightarrow{x}\right)=(k_0^2+{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2)\tilde{G}(k_0,\underset{\_}{R}\overrightarrow{x})=(k_0^2+{\left(\underset{\_}{R}{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{\prime }\right)}^2)\tilde{G}(k_0,{\overrightarrow{x}}^{\prime })=$ $(k_0^2+{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{\prime T}{\underset{\_}{R}}^T\underset{\_}{R}{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{\prime })\tilde{G}(k_0,{\overrightarrow{x}}^{\prime })=(k_0^2+{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{\prime 2})\tilde{G}(k_0,{\overrightarrow{x}}^{\prime })$

und

$\int d^{3}x{\delta }^3\left(\underset{\_}{R}\overrightarrow{x}\right)=\int d^3{x}^{\prime }|\det \left(\frac{\partial \overrightarrow{x}}{\partial {\overrightarrow{x}}^{\prime }}\right)|{\delta }^3\left({\overrightarrow{x}}^{\prime }\right)$ $=\int d^3{x}^{\prime }|\det \left({\underset{\_}{R}}^{-1}\right)|{\delta }^3\left({\overrightarrow{x}}^{\prime }\right)=\int d^3{x}^{\prime }{\delta }^3\left({\overrightarrow{x}}^{\prime }\right)$,

woraus

${\delta }^3\left(\underset{\_}{R}\overrightarrow{x}\right)={\delta }^3\left({\overrightarrow{x}}^{\prime }\right)={\delta }^3\left(\overrightarrow{x}\right)$

folgt. D.h.

$\tilde{G}(k_0,\overrightarrow{x})=\tilde{G}(k_0,r)$.

In Kugelkoordinaten können wir den Laplace-Operator wie folgt darstellen:

${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2={\left(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}r\right)}^2+\frac{{\hat{\overrightarrow{L}}}^2}{r^2},{\hat{\overrightarrow{L}}}^2={\hat{\overrightarrow{L}}}^2({\partial }_{\vartheta },{\partial }_{\phi })$,

wobei ${\hat{\overrightarrow{L}}}^2$ ein Differentialoperator sei, der nur partielle Ableitungen nach den Winkel-Variablen enthält. Letzterer Operator trägt nichts bei, wenn er auf $\tilde{G}(k_0,r)$ wirkt, da diese Funktion nicht von den Winkeln abhängt:

${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\tilde{G}(k_0,r)={\left(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}r\right)}^2\tilde{G}(k_0,r)=\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}r\tilde{G}(k_0,r)$.

Sei jetzt $r\ne 0$:

$0=(k_0^2+{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2)\tilde{G}(k_0,r)=(k_0^2+\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}r)\tilde{G}(k_0,r)\iff$ $0=(k_0^2+\frac{{\partial }^2}{\partial r^2})r\tilde{G}(k_0,r)\Rightarrow$ $r\tilde{G}(k_0,r)=A{e}^{i{k}_{0}r}+B{e}^{-i{k}_{0}r}\underset{k_0\to 0}{\to }A+B$.

Im Limes $k_0\to 0$ gilt außerdem:

${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2\tilde{G}(0,\overrightarrow{x})\underset{k_0\to 0}{\leftarrow }(k_0^2+{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2)\tilde{G}(k_0,\overrightarrow{x})=-4\pi {\delta }^3\left(\overrightarrow{x}\right)\Rightarrow \tilde{G}(0,\overrightarrow{x})\underset{k_0\to 0}{\to }\frac{1}{r}$.

Daher können wir nun auf Folgendes schließen:

$1=r\tilde{G}(0,r)=A+B\Rightarrow B=1-A$.

Mit dieser Erkenntnis haben wir die Greensfunktion bis auf eine Konstante 'A bestimmt:

$G(x_0,\overrightarrow{x})=\int \frac{d{k}_0}{2\pi }{e}^{i{k}_0\cdot x_0}\tilde{G}(k_0,\overrightarrow{x})=\frac{A}{r}\int \frac{d{k}_0}{2\pi }{e}^{i{k}_0\cdot (x_0+r)}+\frac{1-A}{r}\int \frac{d{k}_0}{2\pi }{e}^{i{k}_0\cdot (x_0-r)}$ $=\frac{A}{r}\underset{\ne 0\iff x_0=-r\le 0}{\underbrace{\delta (x_0+r)}}+\frac{1-A}{r}\underset{\ne 0\iff x_0=r\ge 0}{\underbrace{\delta (x_0-r)}}$

Für $r\ne 0$ und $t\ne 0$ können aber nicht beide Deltafunktionen gleichzeitig ungleich Null sein, d.h. entweder gilt $t=-\frac{r}{c}<0$ oder $t=\frac{r}{c}>0$, also entweder $A\ne 0$ oder $1-A\ne 0$:

$G(x_0,\overrightarrow{x})=\frac{A}{r}\underset{\ne 0\iff x_0=-r<0}{\underbrace{\delta (x_0+r)}}+\frac{1-A}{r}\underset{\ne 0\iff x_0=r>0}{\underbrace{\delta (x_0-r)}}=\frac{1}{r}\{\begin{array}{c}(1-A)\delta (x_0-r),x_0\ge 0\\ A\delta (x_0+r),x_0<0\end{array}$ $=\frac{1}{r}[A\underset{\ne 0\iff x_0<0}{\underbrace{\mathrm{\Theta }(-x_0)}}\delta (x_0+r)+(1-A)\underset{\ne 0\iff x_0\ge 0}{\underbrace{\mathrm{\Theta }\left(x_0\right)}}\delta (x_0-r)]$,

Hier haben wir die Theta-Funktion verwendet:

$\theta \left(t\right)\equiv \mathrm{\Theta }\left(t\right)=\{\begin{array}{c}1,t\ge 0\\ 0,t<0\end{array}$.

Schließlich können wir die Konstante A sogar noch durch das Bilden des Grenzwertes $t\to 0$ bestimmen:

$-{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{2}G(0,\overrightarrow{x})=4\pi {\delta }^3\left(\overrightarrow{x}\right)\underset{t\to 0}{\leftarrow }(\frac{1}{c^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2)G(x_0,\overrightarrow{x})=4\pi {\delta }^4\left(x\right)\Rightarrow G(x_0,\overrightarrow{x})\underset{t\to 0}{\to }G(0,\overrightarrow{x})=\frac{1}{r}$,

d.h. entweder $A=1$ (wenn $t\to 0-$) oder $1-A=1$ (wenn $t\to 0+$):

$G(x_0,\overrightarrow{x})=\underset{G_{-}\left(x\right)}{\underbrace{\underset{\ne 0\iff x_0<0}{\underbrace{\mathrm{\Theta }(-x_0)}}\frac{1}{r}\delta (x_0+r)}}+\underset{G_{+}\left(x\right)}{\underbrace{\underset{\ne 0\iff x_0\ge 0}{\underbrace{\mathrm{\Theta }\left(x_0\right)}}\frac{1}{r}\delta (x_0-r)}}=G_{-}\left(x\right)+G_{+}\left(x\right)$.

Für $x_0<0$ tritt hier die sog. avancierte Greensfunktion $G_{-}\left(x\right)$ und für $x_0\ge 0$ die retardierte Greensfunktion $G_{+}\left(x\right)$ auf. In der Elektrodynamik wird gerne die retardierte Greensfunktion verwendet, da wir dort im Allg. nicht negative Zeiten betrachten (weil insbesondere eine Wirkung nicht vor ihrer Ursache auftreten soll).