Mathematrix: MA TER/ Theorie/ Vektoren

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Vektorielle und skalare Größen

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Vektor und Punkt

Vektoraddition

Vektor mit Zahl multiplizieren

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Betrag eines Vektors

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Richtung eines Vektors und Steigung

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Zerlegung eines Vektors zu seinen Komponenten

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Skalarprodukt von Vektoren

Von den vier Grundrechenarten sind zwischen Vektoren nur drei möglich, die Strichrechnungen (Addition, Subtraktion) und die Multiplikation. Dafür gibt es allerdings zwei Arten von Multiplikation zwischen Vektoren, die sogenannten Skalar- und Kreuzprodukt. Hier werden wir uns mit dem Skalarprodukt beschäftigen, das durch den Punkt der gewöhnlichen Multiplikation dargestellt wird^[1]. Es kann zwischen nur zwei Vektoren stattfinden und wird durch die Summe der Produkte der einzelnen Koordinaten der Vektoren berechnet. Das bedeutet: Wenn wir das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnen wollen, müssen wir die x-Koordinate $a_{1}$ des Vektors $\vec{a}$ mit der x-Koordinate $b_{1}$ des Vektors $\vec{b}$ multiplizieren, die y-Koordinate $a_{2}$ des Vektors $\vec{a}$ mit der y-Koordinate $b_{2}$ des Vektors $\vec{b}$ auch multiplizieren und die Ergebnisse zusammenrechnen:

$(\binom{a_{1}}{a_{2}}) \cdot (\binom{b_{1}}{b_{2}}) = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}$

Hier ein konkretes Beispiel:

$(\binom{3}{- 2}) \cdot (\binom{- 1}{- 5}) = 3 \cdot (- 1) + (- 2) \cdot (- 5) = - 3 + 10 = 7$

Wir sehen klar: Das Ergebnis eines Skalarproduktes zwischen Vektoren ist kein Vektor mehr, sondern eine Zahl.^[2]

↑ für das Kreuzprodukt hingegen wird das Symbol $\times$ benutzt
↑ Beim Kreuzprodukt hingegen ist das Ergebnis ein neuer Vektor

Winkelmaß zwischen zwei Vektoren

Der Kosinus des Winkels $φ$ zwischen zwei Vektoren lässt sich durch folgende Formel berechnen:

$\cos (φ) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}$

Im Zähler steht das Skalarprodukt der beiden Vektoren, im Nenner das Produkt ihrer Beträge. Diese Formel kann man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und der Definition des Kosinus in einem rechtwinkeligen Dreieck zeigen. Der Winkel lässt sich dann leicht mit Hilfe der Umkehrfunktion von Kosinus berechnen:

$φ = \arccos \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}$

Hier ein konkretes Beispiel:

$\vec{a} = (\binom{4}{- 3}) \Rightarrow | \vec{a} | = \sqrt{4^{2} + (- 3)^{2}} = 5$

$\vec{b} = (\binom{- 2, 1}{2}) \Rightarrow | \vec{a} | = \sqrt{(- 2, 1)^{2} + 2^{2}} = 2, 9$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\binom{4}{- 3}) \cdot (\binom{- 2, 1}{2}) = 4 \cdot (- 2, 1) + (- 3) \cdot 2 = - 14, 4$

$φ = \arccos \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} = \arccos \frac{- 14, 4}{5 \cdot 2, 9} \approx 173, 2 7^{\circ}$

Orthogonalitätskriterium zwei Vektoren

Der Kosinus des Winkels $φ$ zwischen zwei Vektoren lässt sich durch folgende Formel berechnen:

$\cos (φ) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}$

Der Kosinus von 0° ist 1, von 90° allerdings null. Dies bedeutet, dass das Kosinus zwischen zwei Vektoren null ist, wenn die Vektoren senkrecht zu einander sind (man sagt "normal zueinander stehen"). Wenn der linke Teil der Gleichung für den Kosinus zwischen zwei Vektoren null ist, muss dies auch für den rechten Teil gelten. Das kann aber nur dann passieren, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ist. Es gilt daher:

Zwei Vektoren stehen nur dann normal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist und umgekehrt:

Wenn zwei Vektoren normal zueinander stehen, dann ist ihr Skalarprodukt null.

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[1] ür das Kreuzprodukt hingegen wird das Symbol $\times$ benutzt

[2] Beim Kreuzprodukt hingegen ist das Ergebnis ein neuer Vektor

[1]

[2]