Mathematrix: Aufgabensammlung/ Direkte und indirekte Beweise

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1. 
   

   <section begin="01" /> Zeigen Sie den Zusammenhang zwischen Steigung einer linearen Funktion, Ähnlichkeit von ebenen Figuren und direkter Proportionalität! Zeigen Sie, dass die Steigung s einer linearen Funktion $s=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ist! <section end="01" />

2. 
   

   <section begin="02" /> Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras beweisen Sie die Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks: $A=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}$ <section end="02" />

3. 
   

   <section begin="03" /> Beweisen Sie folgenden Zusammenhang für alle natürliche Zahlen n: $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}$ <section end="03" />

4. 
   

   <section begin="04" /> Zeigen Sie, dass die $\sqrt{3}$ eine irrationale Zahl ist! Hinweis: Anstatt gerade und ungerade Zahlen, benutzen Sie Fallunterscheidung mit 3n, 3n+1 und 3n+2! <section end="04" />

5. 
   

   <section begin="05" /> Zeigen Sie den Zusammenhang zwischen Steigung einer linearen Funktion, Ähnlichkeit von ebenen Figuren und direkter Proportionalität! Zeigen Sie, dass die Steigung s einer linearen Funktion $s=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ist! <section end="05" />

6. 
   

   <section begin="06" /> Wenn wir eine Strecke so teilen, dass das Verhältnis der ganzen Strecke zum größten Teil so viel wie das Verhältnis des größten zum kleineren Teil ist, wird dieses Verhältnis Vorlage:W genannt und mit $\mathrm{\Phi }$ bezeichnet. Zeigen Sie, dass: $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ist. <section end="06" />

7. 
   

   <section begin="07" /> Beweisen Sie folgenden Zusammenhang für alle natürliche Zahlen n: $\sum _{k=1}^n(2k-1{)}^2=\frac{n\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)}{3}$ <section end="07" />

8. 
   

   <section begin="08" /> Mit Hilfe eines Beispiels zeigen Sie, dass minus mal minus plus sein soll! <section end="08" />