Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen

Eine Bootverleihfirma hat insgesamt 43 Boote, manche Tretboote (maximal 5 Personen, Preis 8€/h), manche Ruderboote (maximal 3 Personen, Preis 7€/h) und Kanus (maximal 2 Personen, Preis 4€/h). Insgesamt kann die Firma höchstens 159 Personen bedienen, in so einem Fall sind die Einnahmen 271€/h. Wie viele Boote jeder Art hat die Firma?

t: Tretboote, r: Ruderboote, k: Kanus

$\begin{array}{ccccccc}t& +& r& +& k& =& 43\text{Boote insgesamt}\\ 5t& +& 3r& +& 2k& =& 159\text{Personen höchstens}\\ 8t& +& 7r& +& 4k& =& 271€\text{höchstens pro Stunde}\end{array}$

Erst Lösbarkeit mit Determinante überprüfen:

$A=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 5& 3& 2\\ 8& 7& 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\bcancel{1}& \bcancel{1}& \stackrel{-24}{\xcancel{1}}\\ 5& \xcancel{3}& \xcancel{2}\\ \cancel{8}& \cancel{7}& \underset{+12}{\xcancel{4}}\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}\stackrel{-14}{\cancel{1}}& \stackrel{-20}{\cancel{1}}\\ \xcancel{5}& 3\\ \underset{+16}{\bcancel{8}}& \underset{+35}{\bcancel{7}}\end{array}\right|=\dots$

$\dots =12+16+35-24-14-20=-3\ne 0$

Das System hat eine Lösung:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 43\\ 5& 3& 2& 159\\ 8& 7& 4& 271\end{array}\right)\begin{array}{c}\cdot (-2)in2.\\ \cdot (-2)in3.\\ \end{array}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 43\\ 3& 1& 0& 73\\ -2& 1& 0& -47\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \cdot (-1)in3.\\ \end{array}$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 43\\ 3& 1& 0& 73\\ -5& 0& 0& -120\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ :(-5)dann\cdot (-3)in2.\end{array}$

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 43\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 24\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \cdot (-1)in1.\\ \cdot (-1)in1.\end{array}\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 18\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 24\end{array}\right)$

Also 24 Tretboote, 1 Ruderboot und 18 Kanus.