Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Satz von Bayes abstraktes Beispiel

Die Sensitivität des gewöhnlichen AIDS Tests ist ca. 99,9%, die Spezifität ca. 99,8%. Die Prävalenz im deutschsprachigen Raum ist ca. 0,15%. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit beim positiven Test, dass die Person tatsächlich krank ist? Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test in der Bevölkerung positiv ist, 0,34955 % ist.

Stellen wir die Daten in einer Tabelle dar:

${}_{Krankheit}{╲}^{Test}$	Positiv	Negativ	Teilsummen
Krank	$\stackrel{0,0015\cdot 0,999}{0,0014985}$	$\stackrel{0,0015\cdot 0,001}{0,0000015}$	$0,0015$
Gesund	$\stackrel{0,9985\cdot 0,002}{0,001997}$	$\stackrel{0,9985\cdot 0,998}{0,996503}$	$0,9985$
Teilsummen	$0,0034955$	$0,9965045$	$1$ $$

$0,0014985:0,0034955\approx 0,4287=42,87\mathrm{\%}$

Wenn wir direkt die Formel von Bayes benutzten:

$P(K\mid T)=\frac{P(T\mid K)\cdot P(K)}{P(T)}=\frac{0,999\cdot 0,0015}{0,0034955}\approx 0,4287$

Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Krank ist

wenn der Test positiv ist, ist daher $42,87\mathrm{\%}$