Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt

Beweisen Sie die Gleichung ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ mit Hilfe der entsprechenden Definitionen und des Pythagoras-Satzes! Zeigen Sie dann dazu, dass $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$und ${\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$

<section begin="PythagorBeweisTrigonom" /> In einem rechtwinkeligen Dreieck mit c als Hypotenuse und
a und b als Katheten gilt:

$a^2+b^2=c^2$

Für den Winkel α (der Seite a gegenüber) gilt laut Definition:

$\sin \alpha =\frac{a}{c}\to a=c\sin \alpha$und $\cos \alpha =\frac{b}{c}\to b=c\cos \alpha$

Daher:

$a^2+b^2=c^2\to c^2{\sin }^2\alpha +c^2{\cos }^2\alpha =c^2\to$
$c^2({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )=c^2\to {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

c² ist sicherlich nicht null (sonst hätten wir kein Dreieck),
daher können wir es wegfallen lassen.

Da der Winkel α irgendeine Zahl sein kann,
und wir daher ein anders Symbol dafür benutzen
dürfen, können wir stattdessen x schreiben:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ <section end="PythagorBeweisTrigonom" />

Laut Definition des Tangens ist er so viel wie das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Daher gilt auch:

$\tan \alpha =\frac{a}{b}=\frac{c\sin \alpha }{c\cos \alpha }=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Die Kombination der beiden Ergebnissen können wir benutzten, um zu zeigen, dass ${\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$:

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\Rightarrow {\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1-{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$