Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit 2 Variablen

Finden Sie heraus, ob folgende lineare Gleichungssysteme lösbar sind. A)$$ $\left|\begin{array}{c}x+y=8\\ 3x+5y=36\end{array}\right|$ $$ B) $$ $\left|\begin{array}{c}x+2y=8\\ 2x+4y=8\end{array}\right|$ $$ C) $$ $\left|\begin{array}{c}x+2y=8\\ 3x+6y=24\end{array}\right|$ $$ D) $$ $\left|\begin{array}{c}7x+3y=11\\ 7x-3y=-4\end{array}\right|$

In allen Fällen müssen wir die Gleichungen
auf die explizite Form (auf y) umformen

A)

$\left|\begin{array}{c}x+y=8\\ 2x+4y=8\end{array}\right|\to \left|\begin{array}{c}y=-x+8\\ y=-\frac{x}{2}+2\end{array}\right|$

Unterschiedliche Steigung (-1 und −½)

→ Lösbar mit einer Lösung

B)

$\left|\begin{array}{c}x+2y=8\\ 2x+4y=8\end{array}\right|\to \left|\begin{array}{c}y=-\frac{x}{2}+4\\ y=-\frac{x}{2}+2\end{array}\right|$
$$Gleiche Steigung, unterschiedlicher y-Achsenabschnitt
$$→ keine Lösung, nicht lösbar

C)

$\left|\begin{array}{c}x+2y=8\\ 3x+6y=24\end{array}\right|\to \left|\begin{array}{c}y=-\frac{1}{2}x+4\\ y=-\frac{1}{2}x+4\end{array}\right|$
Gleiche Steigung, gleicher y-Achsenabschnitt
→ unendlich viele Lösungen auf einer Gerade, lösbar

D)

$\left|\begin{array}{c}7x+3y=11\\ 7x-3y=-4\end{array}\right|\to \left|\begin{array}{c}y=-\frac{7}{3}x+\frac{11}{3}\\ y=\frac{7}{3}x+\frac{4}{3}\end{array}\right|$
Unterschiedliche Steigung
→ Lösbar mit einer Lösung
AUFPASSEN: Steigungen unterschiedlich
Die erste negativ, die zweite positiv!