Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Integral von Potenzfunktionen

Berechnen Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen. A)$b(v)=7v^5$ B)$a(c)=b{c}^d$ C)$f(x)=65x^{12}$ D)$x(y)=y^2-2x+1$ E)$v(t)=\sqrt[4]{t^3}$ F)$f(x)=\frac{4}{x^5}$ G)$V(h)=\sqrt[4]{\frac{1}{h^5}}$ H)$H(x)=\sqrt[3]{\frac{27}{x^7}}$ I)$z(w)=\frac{5}{w}$ J)$m(n)=\frac{5}{n}+\sqrt[5]{\frac{3125}{n^{30}}}-\frac{5}{13}{n}^{12}$.

Regel:$\int a{x}^{n}dx=\frac{a{x}^{n+1}}{n+1}+c$

A

$b(v)=7v^5\Rightarrow \int b(v)dv=\frac{7}{6}{v}^6+c$
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B

$a(c)=b{c}^d\Rightarrow \int a(c)dc=\frac{b}{d+1}{c}^{d+1}+k$
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C

$f(x)=65x^{12}\Rightarrow \int f(x)dx=65\cdot \frac{x^{12+1}}{12+1}=5x^{13}+c$
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D

$x(y)=y^2-2y+1\Rightarrow \int x(y)dy=\frac{y^3}{3}-2\cdot \frac{y^2}{2}+y+c$
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E

$v(t)=\sqrt[4]{t^3}=t^{\frac{3}{4}}\Rightarrow \int v(t)dt=\left(\frac{t^{\frac{3}{4}+1}}{\frac{3}{4}+1}\right)+c$

$=\frac{4}{7}{t}^{\frac{7}{4}}+c(=\frac{4\sqrt[4]{t^7}}{7}+c)$
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F

$f(x)=\frac{4}{x^5}=4x^{-5}\Rightarrow \int f(x)dx=$

$\frac{4\cdot x^{-5+1}}{-5+1})=-x^{-4}+c$
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G

$V(h)=\sqrt[4]{\frac{1}{h^5}}=\sqrt[4]{h^{-5}}=h^{-\frac{5}{4}}\Rightarrow$

$\int V(h)dh=\frac{h^{-\frac{5}{4}+1}}{-\frac{5}{4}+1}+c=-4h^{-\frac{1}{4}}+c(=-\frac{4}{\sqrt[4]{h}}+c)$
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H

$H(x)=\sqrt[3]{\frac{27}{x^7}}=\sqrt[3]{27}\sqrt[3]{x^{-7}}=3x^{-\frac{7}{3}}\Rightarrow$

$\int H(x)dx=\frac{3\cdot x^{-\frac{7}{3}+1}}{-\frac{7}{3}+1}+c=-\frac{9}{4}{x}^{-\frac{4}{3}}+c(=-\frac{9}{4\sqrt[3]{x^4}}+c)$
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I

$z(w)=\frac{5}{w}=5\cdot w^{-1}\Rightarrow \int z(w)dw=5\ln w+c$
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J

$m(n)=\frac{5}{n}-\sqrt[5]{\frac{3125}{n^{30}}}-13n^{12}$

$\sqrt[5]{\frac{1}{3125n^{30}}}=\sqrt[5]{\frac{1}{3125}}\sqrt[5]{n^{-30}}=\frac{1}{5}{n}^{-\frac{30}{5}}=\frac{1}{5}{x}^{-6}$

$m(n)=\frac{5}{n}-5x^{-6}-13n^{12}$

$\int m(n)dn=5\ln n-5\cdot \frac{n^{-6+1}}{-6+1}-13\cdot \frac{n^{12+1}}{12+1}+c$

$\int m(n)dn=5\ln n+n^5-n^{13}+c$
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