Mathematrix: Antworten nach Thema/ Exponential und Logarithmus Funktion

Mathematrix: Vorlage: Kleinkram

<section begin="oben" /> STOPP PUSHBACKS • FREE ASSANGE • FRIEDEN AUF DER WELT <section begin="Fractal" /> <section end="Fractal" /> $𝐌𝐀𝐓𝐇𝐄\mu \alpha Tℝix$ DEINE FESTE BEGLEITERIN FÜR DIE SCHULMATHEMATIK EINFACH UND VERSTÄNDLICH GRATIS!* MIT MEHR ALS 200 THEORIE- UND AUFGABEN-ERKLÄRUNGS VIDEOS! colspan="3" style=" Mathematrix: Vorlage: Kleinkram"| Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst. <section end="oben" />

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Wachstums- und Zerfallsprozessen

Wachstum

1. <section begin="Wachstum01" />$\approx 1,7310^{14}\text{Personen!}$<section end="Wachstum01" />
2. <section begin="Wachstum02" />$\approx 9,2210^{18}\text{Körner!}$<section end="Wachstum02" />
3. <section begin="Wachstum03" />$\approx 75,7\approx 75\text{Bakterien}$<section end="Wachstum03" />
4. <section begin="Wachstum04" />$\approx 340\text{Millionen bzw. }2,00\text{Billionen Personen!}$<section end="Wachstum04" />
5. <section begin="Wachstum05" />$\approx 328\text{Bakterien}$<section end="Wachstum05" />
6. <section begin="Wachstum06" />$\approx 318\text{Menschen}$<section end="Wachstum06" />
7. <section begin="Wachstum07" />$\approx 20636\text{Bakterien}$<section end="Wachstum07" />
8. <section begin="Wachstum08" />$\approx 9,8\text{bzw. }59\text{Millionen Menschen}$<section end="Wachstum08" />

Zerfall

1. <section begin="Zerfall01" /><section begin="Abnahme01" />$\approx 40522\text{Atome}$<section end="Abnahme01" /><section end="Zerfall01" />
2. <section begin="Zerfall02" /><section begin="Abnahme02" />$\approx 4488601\text{Personen}$<section end="Abnahme02" /><section end="Zerfall02" />
3. <section begin="Zerfall03" /><section begin="Abnahme03" />$\approx 3,147\text{Ampere}$<section end="Abnahme03" /><section end="Zerfall03" />
4. <section begin="Zerfall04" /><section begin="Abnahme04" />$\approx 47847\text{Atome}$<section end="Abnahme04" /><section end="Zerfall04" />
5. <section begin="Zerfall05" /><section begin="Abnahme05" />$\approx 117686\text{Bakterien}$<section end="Abnahme05" /><section end="Zerfall05" />
6. <section begin="Zerfall06" /><section begin="Abnahme06" />$\approx 34,2\text{°C}$<section end="Abnahme06" /><section end="Zerfall06" />
7. <section begin="Zerfall07" /><section begin="Abnahme07" />$\approx 21700000\text{Personen}$<section end="Abnahme07" /><section end="Zerfall07" />
8. <section begin="Zerfall08" /><section begin="Abnahme08" />$\approx 136,12\text{V}$<section end="Abnahme08" /><section end="Zerfall08" />

Zinseszins

1. <section begin="Zinseszins01" />$G_{45}\approx 7794,47\text{€}$<section end="Zinseszins01" />
2. <section begin="Zinseszins02" />$G_{15}\approx 11124,11\text{€}$<section end="Zinseszins02" />
3. <section begin="Zinseszins03" />$G_{158}\approx 52989,79\text{€}$<section end="Zinseszins03" />
4. <section begin="Zinseszins04" />$G_{106}\approx 242069,28\text{€}$<section end="Zinseszins04" />

Exponentialfunktion Logarithmus

Exponentialfunktion

Etwas leichter

1. <section begin="Exponentialfunktion01" />
   1. Mavrit
   2. 100 (%)
   3. $M(t)=100\cdot 0,9481^t$
   4. ca. 39,8 min
   5. 
   6. $97,15\mathrm{\%}$
   7. das 2. und das 6.
   8. 2,5 Prozenteinheiten pro Minute
   9. $0<a<1,t>0,0<M<M_0$
   10. $38,3\mathrm{\%}$
   11. 3 min
   <section end="Exponentialfunktion01" />
2. <section begin="Exponentialfunktion02" />
   1. Grün
   2. 1,5 (Millionen)
   3. $M(t)=2\cdot 1,0140^t$
   4. ca. 116,1 Jahre
   5. 
   6. $3,616\mathrm{\%}$
   7. das 4. das 5. und das 6.
   8. 20000 Menschen pro Jahr
   9. $r>1,z>0,w>w_0$
   10. $0,3\mathrm{\%}$
   11. ca. 28 Jahre
   12. ca. 48 Jahre, ca. 5 Millionen
   <section end="Exponentialfunktion02" />
3. <section begin="Exponentialfunktion03" />
   1. Biotoxac
   2. 100 (%)
   3. $M(t)=100\cdot 0,92587^t$
   4. ca. 25,53 h
   5. 
   6. $ca.94,56\mathrm{\%}$
   7. das 5.
   8. 2 Prozenteinheiten pro Stunde
   9. $0<c<1,n>0,0<A<a$
   10. $15,97\mathrm{\%}$
   11. 2 h
   <section end="Exponentialfunktion03" />
4. <section begin="Exponentialfunktion04" />
   1. Schwarz
   2. 3 (Millionen)
   3. $M(t)=3\cdot 1,00696^t$
   4. ca. 158,4 Jahre
   5. 
   6. ca. $8,21\mathrm{\%}$
   7. das 2. das 5. und das 6.
   8. 10000 Menschen pro Jahr
   9. $N>v,b>0,r>1$
   10. $0,23\mathrm{\%}$
   11. 100 Jahre
   12. ca. 72 Jahre, ca 5,2 Millionen
   <section end="Exponentialfunktion04" />

Etwas schwieriger

1. <section begin="ExponentialfunktionS01" />
   1. 
   2. Halbwertszeit
   3. Die Zeit, nachdem 30% des Schmutzes übrig bleibt
   4. ca.11,5 min
   5. $ca.N(t)=100\cdot 0,7937^t$
   6. $ca.N(t)=100\cdot 0,9032^t$
   7. ca. 409 s
   8. ca. 24,04%, also ja, das Modell könnte stimmen. Wissenschaft ist empirisch, man kann nicht die Realität an die Theorie anpassen...
   9. Einerseits wird diese Funktion nie null (die Hälfte von irgendwas außer null ist nie null). Andererseits haben wir Moleküle und die Funktion wird sicher unter 1 sein.
   10. das 4.
   11. 100(%)
   12. Untere Grenze für den Schmutzprozentsatz
   13. ca. 0,705 Prozenteinheiten pro Minute
   15. ca. 4,5 Prozenteinheiten pro Minute
   16. ca. 45,06%
   <section end="ExponentialfunktionS01" />
2. <section begin="ExponentialfunktionS02" />
   1. 
   2. Verdoppelungszeit
   3. nach so viel Zeit wird die Bevölkerung das 7-fache sein
   4. ca. 45 Jahre
   5. $A(j)=1,5\cdot 1,0247^j$A:Bevölkerung in Millionen, j:Zeit in Jahren
   6. $N(t)=0,8\cdot 1,0179^t$N:Bevölkerung in Millionen, t:Zeit in Jahren
   7. ca. 3,9 Jahrzehnten
   8. $N(17)=0,8\cdot 1,0179^{1}7\approx 1,08Millionen,/$also passt, das Modell
   9. Das Wachstum der Bevölkerung ist nach z.B 1000 Jahren enorm
   10. Das 2. und das 5.
   11. 8 (Millionen)
   12. Untere Grenze der Einwohnerzahl in Millionen
   13. ca. 6592 Einwohner pro Jahr
   14. ca. 61200 Einwohner pro Jahr
   15. ca. 49,86%
   <section end="ExponentialfunktionS02" />
3. <section begin="ExponentialfunktionS03" />
   1. 
   2. Halbwertszeit
   3. Nach t Stunden bleiben 30% der Bakterien übrig
   4. ca. 5,4 h
   5. $P(t)=100\cdot 0,7071^t$P: Prozentsatz, t Zeit in h
   6. $P(t)=100\cdot 0,9146^t$
   7. $ca.7,77h$
   8. 76,51%, also ja
   9. Einerseits wird diese Funktion nie null (die Hälfte von irgendwas außer null ist nie null). Andererseits haben wir Bakterien und die Funktion wird sicher unter 1 sein.
   10. das 2., das 3. und das 4.
   11. 100(%)
   12. untere Grenze der Anzahl der Bakterien
   13. ca. 3,4 Prozenteinheiten pro Stunde
   14. ca. 4,06 Prozenteinheiten pro Stunde
   15. ca. $15,35\mathrm{\%}$
   <section end="ExponentialfunktionS03" />
4. <section begin="ExponentialfunktionS04" />
   1. 
   2. Verdoppelungszeit
   3. nach so viel Zeit wird die Bevölkerung das 5-fache sein
   4. nach ca. 27 Jahren
   5. $B(z)=1,0234^z$B: Bevölk.(Millionen), z:Zeit (Jahre)
   6. $E(x)=1,01948^x$E:Einwohner (Millionen), x:Zeit (Jahre)
   7. ca. 3,593 Jahrzehnten
   8. Ja, das Modell
   9. Das Wachstum der Bevölkerung ist nach z.B 1000 Jahren enorm
   10. das 1. und das 4.
   11. 7 (Millionen)
   12. Untere Grenze der Einwohnerzahl in Millionen
   13. ca. 262800 Menschen pro Jahr
   14. ca. 68900 Menschen pro Jahr
   15. ca. $47,78\mathrm{\%}$
   <section end="ExponentialfunktionS04" />

Exponentialfunktion und Logarithmus

1. <section begin="Exponentialfunktion und Logarithmus01" />
   1. $\lambda =\ln 2\approx 0,693$
   2. $a=e^{-1}\approx 0,368$
   3. $u=7^7=823543$
   4. $b={\log }_{5}0,5\approx -0,431$
   5. $\lambda =\ln 5\approx 1,609$
   <section end="Exponentialfunktion und Logarithmus01" />
2. <section begin="Exponentialfunktion und Logarithmus02" />
   1. $\lambda =\ln 6\approx 1,79$
   2. $a=e^{-2}\approx 0,135$
   3. $u=5$
   4. $\theta ={\log }_{7}3,5\approx 0,644$
   5. $\lambda =\ln 6\approx 1,792$
   <section end="Exponentialfunktion und Logarithmus02" />
3. <section begin="Exponentialfunktion und Logarithmus03" />
   1. $\lambda =\ln 20\approx 3,00$
   2. $m=e^0=1$
   3. $v=2^{-1}=\frac{1}{2}=0,5$
   4. $2^{-4}=0,0001$
   5. $\lambda =\ln 3\approx 1,0986$
   <section end="Exponentialfunktion und Logarithmus03" />
4. <section begin="Exponentialfunktion und Logarithmus04" />
   1. $\lambda =\ln 0,5\approx -0,693$
   2. $m=e^{-3}=0,0498$
   3. $v=3^0=1$
   4. $\alpha ={\log }_{7}27=1,694$
   5. $\lambda =\ln 9\approx 2,19$
   <section end="Exponentialfunktion und Logarithmus04" />

Arbeiten mit Logarithmen

1. <section begin="Arbeiten mit Logarithmen01" />
   1. $v(3{\log }_{b}a+{\log }_b(b+c)-m)$
   2. $\ln \frac{c^4{e}^5}{6^d}$
   <section end="Arbeiten mit Logarithmen01" />
   
   
   
2. <section begin="Arbeiten mit Logarithmen02" />
   1. $-\frac{1}{3}(5{\log }_{5}d+d)-\frac{7}{15}$
   2. $\ln \frac{q^d{e}^{5d}}{6^d}$
   <section end="Arbeiten mit Logarithmen02" />
   
   
   
3. <section begin="Arbeiten mit Logarithmen03" />
   1. $v(3+{\log }_a(b+c)-m{\log }_{a}b)$
   2. $\ln c^{\sqrt[5]{7}}{e}^6{6}^{-\frac{5}{7}}$
   <section end="Arbeiten mit Logarithmen03" />
   
   
   
4. <section begin="Arbeiten mit Logarithmen04" />
   1. $\sqrt{2}(e+c\ln b-\ln (b+m))$
   2. ${\log }_v\frac{v^4{e}^4}{6^d}$
   <section end="Arbeiten mit Logarithmen04" />
   
   
   
5. <section begin="Arbeiten mit Logarithmen05" />
   1. $2,4(\lg 3+\lg (10+c)-\lg b^{\frac{m}{7}})$
   2. $\ln \frac{c^{w}10^n}{6^5}$
   <section end="Arbeiten mit Logarithmen05" />
   
   
   
6. <section begin="Arbeiten mit Logarithmen06" />
   1. $11(3+{\log }_6(13+c)-m{\log }_{6}b)$
   2. ${\log }_4\frac{4^c{g}^g}{g^3}$
   <section end="Arbeiten mit Logarithmen06" />
   
   
   

Exponentialfunktion Diagramm

1. <section begin="Exponentialfunktion Diagramm01" />$c=1,4,a=-1,P(-1|1)\Rightarrow b\approx \ln \frac{3}{5}\approx 0,5$
   $f(x)=-e^{0,5x}+1,6$<section end="Exponentialfunktion Diagramm01" />
2. <section begin="Exponentialfunktion Diagramm02" />$c=1,4,a=-1,6,P(0,6|-2,2)\Rightarrow b\approx -1,5$
   $f(x)=-1,6e^{1,5x}+1,6$<section end="Exponentialfunktion Diagramm02" />
3. <section begin="Exponentialfunktion Diagramm03" />$c=-2,a=0,4,P(3,2|0)\Rightarrow b\approx \frac{5}{16}\ln 5\approx 0,5$
   $f(x)=0,4e^{0,5x}-2$<section end="Exponentialfunktion Diagramm03" />
4. <section begin="Exponentialfunktion Diagramm04" />$c=-0,8,a=0,4,P(2|1)\Rightarrow b\approx \frac{5}{7}\ln 2\approx 0,75$
   $f(x)=0,4e^{0,75x}-0,8$<section end="Exponentialfunktion Diagramm04" />
5. <section begin="Exponentialfunktion Diagramm05" />$c=0,4,a=1,P(1,4|2,4)\Rightarrow b\approx \frac{1}{2}\ln \frac{3}{5}\approx 0,5$
   $f(x)=e^{0,5x}+0,4$<section end="Exponentialfunktion Diagramm05" />
6. <section begin="Exponentialfunktion Diagramm06" />$c=-1,a=-1,P(0,2|-2,2)\Rightarrow b\approx 5\ln \frac{6}{5}\approx 0,9$
   $f(x)=-e^{0,9x}-1$<section end="Exponentialfunktion Diagramm06" />

Logarithmus Textaufgaben

1. <section begin="Logarithmus Textaufgaben01" />
   1. $491,7$Jahre
   2. $247,1$Jahre
   3. $165,5$Jahre
   <section end="Logarithmus Textaufgaben01" />
2. <section begin="Logarithmus Textaufgaben02" />
   1. $\approx 1,5\mathrm{\%}$
   2. $\approx 1202$Jahre
   <section end="Logarithmus Textaufgaben02" />
3. <section begin="Logarithmus Textaufgaben03" />
   2. $3,63$Tage
   3. $15,0$Tage
   4. $33,5$Tage
   <section end="Logarithmus Textaufgaben03" />
4. <section begin="Logarithmus Textaufgaben04" />
   1. $\approx 361$Jahre nach 2010
   2. $574\cdot 10^{18}=505\cdot 10^{18}\cdot a^4$
      Auf a umformen und berechnen!
   <section end="Logarithmus Textaufgaben04" />