Mathematische Geodäsie: Hauptaufgaben:Randwertaufgabe kurze Distanz

Randwertaufgabe

Die Randwertaufgabe bestimmt Startazimut und Distanz bei bekannten Anfangs- (U₁,V₁)und Endpunkt (U₂,V₂).

Ansatz

Sind die Legendreschen Reihen für eine Fläche aufgestellt, werden sie in Riemannschen Koordinaten ausgedrückt, es findet also eine Ersetzung mit den folgenden Formeln statt:

$x=S\cdot \cos A$

$y=S\cdot \sin A$

Allgemeines Beispiel für Koeffizientenvergleich

Die Reihe habe die Gestalt

$x(y)=b_0+b_{1}y+b_2{y}^2$

Mit den bekannten Koeffizienten b_i.

Gesucht sind die Koeffizienten a_i der umgekehrten Funktion

$y(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2$

Das bekannte x wird in die y-Funktion eingesetzt:

$y(x)=a_0+a_1(b_0+b_{1}y+b_2{y}^2)+a_2(b_0+b_{1}y+b_2{y}^2{)}^2$

Ausquadriert und unter Vernachlässigung von Gliedern mit Ordnung ab 3:

$y(x)=a_0+a_1(b_0+b_{1}y+b_2{y}^2)+a_2(b_0^2+2b_0{b}_{1}y+(b_1^2+2b_0{b}_2)y^2)+𝒪(3)$

Ordnen nach y ergibt:

$0\cdot y^0+1\cdot y^1+0\cdot y^2=(a_0+a_1{b}_0+a_2{b}_0^2)y^0+(a_1{b}_1+2a_2{b}_0{b}_1)y^1+(a_2(b_1^2+2b_0{b}_2)+a_1{b}_2)y^2$

Der Koeffizientenvergleich bezieht sich auf rechte und linke Seite, deswegen links die Nullterme. Es entstehen drei Gleichungen für die drei Unbekannten b_i:

$0=a_0+a_1{b}_0+a_2{b}_0^2$

$1=a_1{b}_1+2a_2{b}_0{b}_1$

$0=a_2(b_1^2+2b_0{b}_2)+a_1{b}_2$

Die Lösung des Gleichungssystems ergibt:

$a_0=-\frac{b_0}{b_1}-\frac{b_0^2{b}_2}{b_1^3}$

$a_1=\frac{1}{b_1}+2\frac{b_0^2{b}_2}{b_1^3}$

$a_2=-\frac{b_2}{b_1^3}$

Bemerkung

Natürlich unterliegen die so gewonnenen Reihen denselben Beschränkungen hinsichtlich der Distanz wie die Legendrereihen für die Anfangswertaufgabe, d.h. maximale Entfernung 150 km.