Mathematische Übungsbeispiele: Differentialrechnung Rechenweg

zurück zu Differentialrechnung, hoch zum Inhaltsverzeichnis

Differentialrechnung Rechenweg

Die einfachste Ableitung der Welt

Gegeben ist die Funktion $g(x)=x^2$. Berechne die Ableitung $g^{\prime }(x)$ und ermittle ihre Werte $g^{\prime }(0)$, $g^{\prime }(3)$ und $g^{\prime }(5)$.

    $g^{\prime }(x)=2\times x$
    $g^{\prime }(0)=2\times 0=0$  
    $g^{\prime }(3)=2\times 3=6$
   
    ...

Ableitung in der Summe

Gegeben ist die Funktion $g(x)=5x^3+7x^2+11x+10$. Berechne die Ableitung $g(x{)}^{\prime }$ und ermittle die Werte $g^{\prime }(-1)$, $g^{\prime }(1)$ und $g^{\prime }(2)$.

  Nach der Summenformel werden die einzelnen Terme separat
  abgeleitet und zusammen gezählt.

  $g^{\prime }(x)=15x^2+14x+11$ 
  $g^{\prime }(-1)=15(-1{)}^2+14(-1)+11$
  ... 

x Quadrat plus eins hoch zehn

Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2+1{)}^{10}$. Berechne die Ableitung $h^{\prime }(x)$ und ermittle die Werte $h^{\prime }(-1)$, $h^{\prime }(0)$ und $h^{\prime }(1)$.

   Nach der Kettenregel wird eine geschachtelte Funktion 
   mit der Formel $(f(g){)}^{\prime }=f^{\prime }(g)g^{\prime }$ abgeleitet.

   Die äußere Funktion ist hier "hoch 10" die innere Funktion ist $x^2+1$
   $h^{\prime }(x)=\underset{f^{\prime }(g)}{\underbrace{10(x^2+1{)}^9}}\underset{g^{\prime }}{\underbrace{(2x)}}$

   $h^{\prime }(-1)=10((-1{)}^2+1{)}^{9}2(-1)=10(2^9)(-2)=-102040$
   ...

x mal Sinus x durch x Quadrat plus 1

Gegeben sei die Funktion $g(x)=\frac{xsinx}{x^2+1}$ Berechne $g^{\prime }(x)$ und ermittle die Werte $g^{\prime }(\pi )$ und $g^{\prime }(\pi /2)$ (auf vier Stellen hinter dem Komma; rechne sin und cos mit Bogenmaß)

   Nach der Quotientenregel formen wir aus dem rechten Ausdruck zunächst 
   $\frac{(xsinx{)}^{\prime }(x^2+1)-(xsinx)(x^2+1{)}^{\prime }}{(x^2+1{)}^2}$

   Dann leiten wir die einzelnen Teilausdrücke ab
   $\frac{(1\cdot sinx+xcosx)(x^2+1)-(xsinx)2x}{(x^2+1{)}^2}$

   Wir multiplizieren die Terme oben aus
   $\frac{x^{2}sinx+x^{3}cosx+sinx+xcosx-2x^{2}sinx}{(x^2+1{)}^2}$

   und vereinfachen zu 
   $\frac{x^{3}cosx+sinx+xcosx-x^{2}sinx}{(x^2+1{)}^2}$

   Die Ableitung ist somit
    $g^{\prime }(x)=\frac{x^{3}cosx+sinx+xcosx-x^{2}sinx}{(x^2+1{)}^2}$