Mathematikunterricht/ Sek/ Quadratische Funktion/ Zusammenfassung

Was man über quadratische Funktionen wissen sollte

Funktionsgleichung

Die Funktionsgleichungen haben die Form: $f(x)=a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

Solche Funktionen nennt man quadratische Funktionen oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades.

Deren Graphen werden Parabeln genannt.

Scheitelpunkt und Scheitelpunktform

Allgemein gilt:

Ist $f(x)=a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ die Funktionsgleichung einer Parabel, die den Scheitelpunkt $S(x_s|y_s)$ besitzt, so ist $f(x)=a_2(x-x_s{)}^2+y_s$ die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung.

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Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung

Wir wissen bereits das gilt: Durch eine Termumformung der allgemeinen Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt einer Parabel ermitteln.

Beispiel:

Beispiel:

Beispiel:

Achsenschnittpunkte

	Der Schnittpunkt des Graphen mit der y - Achse ist $P_y(0|y_s)\Rightarrow y_s=f(0)$ Der Schnittpunkt des Graphen mit der x - Achse ist $P_{xi}(x_i|0)\Rightarrow f(x_i)=0$ für i = 1 ; 2

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Symmetriebetrachtung

Die nebenstehend abgebildete Parabel ist symmetrisch zu der Achse, die parallel zur y - Achse durch den Scheitelpunkt verläuft. Das gilt für alle Parabeln. Die Gleichung der Symmetrieachse durch den Scheitelpunkt $S(x_s|y_s)$ lautet: $x=x_s$ (hier $x_s=3$) Auch die Nullstellen sind symmetrisch zu dieser Achse. Das bedeutet, bei bekannten Nullstellen kann der x - Wert des Scheitelpunktes berechnet werden.

Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen

Sind die Nullstellen der quadratischen Funktion $x_1;x_2$ bekannt, dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:

$x_s=\frac{x_1+x_2}{2}\Rightarrow S(x_s|f(x_s))$

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p - q - Formel, Diskriminante und Lösungsmenge

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet: $x^2+px+q=0$

p - q - Formel:

$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2}{)}^2-q}$

Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt: $D=(\frac{p}{2}{)}^2-q$

Mit dieser vereinfacht sich die Lösungsformel zu :$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{D}$

Der Diskriminante kann man die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung entnehmen.

$D>0\Rightarrow L=\{x_1;x_2\}$ Zwei Lösungselemente

$D=0\Rightarrow L=\{x\}$ Ein Lösungselement (Doppellösung)

$D<0\Rightarrow L=\{\}$ Kein Lösungselement

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Der Satz von Vieta

Sind $x_1;x_2$ Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2+px+q$ so können diese mit dem Wurzelsatz von Vieta $x_1+x_2=-p$ und $x_1\cdot x_2=q$ überprüft werden.

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Nullstellen und Linearfaktoren

Sind $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x)=a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$, so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:

$f(x)=a_2\cdot (x-x_1)(x-x_2)$

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Schnittpunkt von Parabel und Gerade

$f(x)$ sei die Funktionsgleichung einer Parabel und $g(x)$ die einer Geraden.

Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen $f(x)=g(x)\Rightarrow$ quadratische Gleichung.

Falls nun:

$D>0:\Rightarrow$ Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten.

$D=0:\Rightarrow$ Die Parabel und die Gerade berühren sich in einem Punkt.

$D<0:\Rightarrow$ Die Parabel und die Gerade haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

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Schnittpunkt zweier Parabeln

$f(x);g(x)$ seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln.

Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen $f(x)=g(x)\Rightarrow$ quadratische Gleichung.

Falls nun:

$D>0:\Rightarrow$ Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.

$D=0:\Rightarrow$ Die Parabeln berühren sich in einem Punkt.

$D<0:\Rightarrow$ Die Parabeln haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

$f(x)-g(x)\Rightarrow$ lineare Gleichung $\Rightarrow$ Die Parabeln haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.

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Weblinks

• Übungen zu Quadratischen Funktionen
• Parabelanalysator Eine umfassende Analyse mit Darstellung des Graphen (JavaScript interaktiv).
• Schnittpunkte von Parabel und Gerade Berechnung der Schnittpunkte und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
• Schnittpunkte zweier Parabeln Berechnung der Schnittpunkte und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
• Parabel durch drei Punkte Berechnung der Funktionsgleichung und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
• Videolektion + Lernsoftware zu den Quadratischen Funktionen (EchtEinfach.tv)