Mathematikunterricht/ Sek/ Lineare Funktion/ Zusammenfassung

Was man über affine und lineare Funktionen wissen sollte

Funktionsgleichung

Eine Funktion $f(x)$ mit $f(x)=a_{1}x+a_0$ heißt ganzrationale Funktion 1. Grades oder affine Funktion.

Der Funktionsgraph stellt eine Gerade dar.

Ist $a_0=0$, so handelt es sich um eine lineare Funktion.

Achsenschnittpunkte

Schnittpunkt mit der y - Achse: $P_y(0|y_s)\Rightarrow y_s=f(0)$

Schnittpunkt mit der x - Achse: $P_x(x_s|0)\Rightarrow f(x_s)=0$

Hintergrundinformation

Steigung

Die Steigung des Graphen einer affinen Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x)$ mit $f(x)=a_{1}x+a_0$ lässt sich am Koeffizienten $a_1$ ablesen.

Berechnet wird sie mit:

$a_1=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\tan \alpha$ In Kurzform: $a_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Hintergrundinformation

Funktionsgleichung aufstellen

• Die Steigung $a_1=a$ und ein Punkt $P_1(x_1|y_1)$ der auf der Geraden liegt seien bekannt.

Ansatz: $f(x)=ax+a_0$

$P_1(x_1|y_1):\Rightarrow f(x_1)=y_1\iff a{x}_1+a_0=y_1\iff a_0=y_1-a{x}_1$

• Die Koordinaten zweier Punkte $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ die auf der Geraden liegen, seien bekannt.

Zuerst wird der Steigungsfaktor berechnet: $a_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\Rightarrow f(x)=a_{1}x+a_0$

$P_1(x_1|y_1):\Rightarrow f(x_1)=y_1\iff a{x}_1+a_0=y_1\iff a_0=y_1-a{x}_1$

oder

$P_2(x_2|y_2):\Rightarrow f(x_2)=y_2\iff a{x}_2+a_0=y_2\iff a_0=y_2-a{x}_2$

Hintergrundinformation

Schnittpunkt zweier Geraden

Ansatz: $f(x)=g(x)\iff f(x)-g(x)=0\Rightarrow x_s$ x - Wert vom Schnittpunkt der beiden Geraden.

$y_s=f(x_s)=g(x_s)\Rightarrow S(x_s|y_s)$ als Schnittpunkt der beiden Geraden.

Hintergrundinformation

Orthogonale Geraden

Für die Steigung zweier senkrecht aufeinanderstehender Geraden $g_1$ und $g_2$ gilt:

$a_1\cdot a_2=-1$ bzw. $a_1=-\frac{1}{a_2}$ bzw. $a_2=-\frac{1}{a_1}$

Hintergrundinformation

Weblinks

• Geraden erkennen Eine Gerade wird im Koordinatensystem abgebildet. Die Funktionsgleichung ist zu bestimmen (interaktiv).
• Gerade durch zwei Punkte Nach Eingabe der Koordinaten zweier Punkte, wird die Gerade abgebildet und die Funktionsgleichung berechnet (interaktiv).
• Geradenschnittpunkt Der Schnittpunkt zweier Geraden wird berechnet (interaktiv).
• Videolektion + Lernsoftware zu den Linearen Funktionen (EchtEinfach.tv)