Mathematikunterricht/ Sek/BKI/2.6 Senkrechte Geraden

Erarbeitung

Im Folgenden wollen wir untersuchen, wie lineare Funktionen und dazu senkrechte Funktionen zueinander stehen.

Mathematik: Beispiel Wir betrachten die folgenden Funktionenpaare:

Vergleichen wir die Steigungen der Geraden, dann stellen wir fest:

• $\frac{1}{2}$ zu $-2$
• $\frac{1}{3}$ zu $-3$

Vielleicht haben Sie hier schon eine Vermutung.

Aufgabe 1: Öffnen Sie die GeoGebra-Datei Lineare Funktionen - Senkrechte Geraden und verändern Sie Steigung i und y-Achsenabschnitt m. Beobachten Sie, was jeweils mit Steigung und y-Achsenabschnitt der Funktion g passiert, die als Senkrechte zu f gesetzt ist. Notieren Sie sich Ihre Beobachtung.

-> Lösung

Aufgabe 2: Überprüfen Sie Ihre Beobachtung anhand der folgenden Geraden:

1. Finden Sie lineare Funktionen zuerst anhand der Funktionsterme.
2. Überprüfen Sie anschließend anhand der Grafik.

• $f_1(x)=2x+3$
• $f_2(x)=\frac{1}{2}x+3$
• $f_3(x)=-x+1$
• $f_4(x)=2x+1$
• $f_5(x)=0,25x$
• $f_6(x)=-\frac{1}{2}x-2$
• $f_7(x)=-4x+2$

-> Lösung

Zusammenfassung

Zwei lineare Funktionen $f_1(x)=m_1\cdot x+t_1$ und $f_2(x)=m_2\cdot x+t_2$ sind senkrecht zueinander, wenn gilt: $m_1\cdot m_2=-1$ Ausgesprochen: Zwei lineare Funktionen sind senkrecht, wenn das Produkt der Steigungen -1 ergibt.

Der y-Achsenabschnitt spielt für die Eigenschaft, senkrecht zueinander zu stehen, keine Rolle.

Mathematik: Merksatz Für eine Berechnung lohnt sich folgende Formel:

$m_1=-\frac{1}{m_2}$

Ausgesprochen: Der negative Kehrwert der einen Steigung ist die Steigung der anderen Funktion.

Übung

Aufgabe 3: Bestimmen Sie eine lineare Funktion g, die senkrecht zu f steht.

1. $f(x)=5x-2$
2. $f(x)=-\frac{2}{9}x+1$
3. $f(x)=-2,5x+7,5$

-> Lösung

Lösung zur Erarbeitung

Aufgabe 1: Auffallen sollte, dass die Steigung der einen Funktion gerade der Kehrwert der anderen Steigung ist mit umgekehrtem Vorzeichen.

Aufgabe 2:

Lösungen zu den Übungen

Aufgabe 3:

1. $g(x)=-\frac{1}{5}x+t$
2. $g(x)=\frac{9}{2}x+t$
3. $g(x)=0,4x+t$