Mathematikunterricht/ Sek/BG/E8.12 Kombinatorik

Erarbeitung

Bei der Wikibooks-Marble-League geht es heiß her. Fünf Teams treten an beim gerühmten Wiki-Cup:

• Team Solid-Color: 6 Mitglieder
• Team Bunte Wirbel: 4 Mitglieder
• Team Green: 3 Mitglieder
• Team Dark: 5 Mitglieder
• Team Sprenkel: 3 Mitglieder

1. Beim Murmel-Weitrollen tritt von jedem Team genau ein Teammitglied an. Bestimmen Sie die Anzahl an Möglichkeiten für die Startaufstellung! Vorlage:Klappbox

2. Team Sprenkel fällt aus, da ihr Flieger aufgrund eines Unwetters erst verspätet startet. Bestimmen Sie nun die Anzahl an Möglichkeiten für die Startaufstellung. Vorlage:Klappbox

Wir merken uns:

Produktregel

Wählt man aus den Mengen M1 , M2 , M3 ,... mit jeweils n1 , n2 , n3,... Elementen ein Element aus, so gibt es $n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdot \dots$ Möglichkeiten.

3. Die Reihenfolge des Starts beim Murmel-Weitrollen wird per Zufall entschieden. Bestimmen Sie die Anzahl an Möglichkeiten, in der die vier antretenden Murmeln nacheinander antreten können. Vorlage:Klappbox

4. Team Sprenkel schafft es doch noch rechtzeitig zum Murmel-Weitrollen. Bestimmen Sie nun die Anzahl an Möglichkeiten mit fünf antretenden Murmeln. Vorlage:Klappbox

Mit Reihenfolge ohne Zurücklegen

Für n verschiedene Objekte gibt es $n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot 3\cdot 2\cdot 1$ Möglichkeiten. Wir schreiben dafür kurz $n!$. Gesprochen "n Fakultät".

Hinweis:

• $0!=1$
• $1!=1$

5. Vor dem Turnier wird ein Dopingtest durchgeführt. Es wird per Zufall entschieden, welche Murmel getestet wird und eine Murmel kann auch mehrmals getestet werden. Bestimmen Sie die Anzahl an Möglichkeiten, wenn sechs Murmeln nacheinander zum Dopingtest müssen. Vorlage:Klappbox

Ziehen MIT Zurücklegen MIT Reihenfolge:

Beim k-maligen Ziehen aus n möglichen Elementen mit Zurücklegen und mit Reihenfolge, gibt es $n^k$ Möglichkeiten.

6. Beim Wettmurmeln bekommen nur die ersten zwei Plätze einen Preis. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Preise auf die fünf teilnehmenden Murmeln zu verteilen? Vorlage:Klappbox

7. Jack Finster vom Team Dark hat verschlafen und taucht nicht beim Wettmurmeln auf. Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt, die Preise auf die vier teilnehmenden Murmeln zu verteilen? Vorlage:Klappbox

8. Beim Durchmurmeln nehmen alle 21 Murmeln teil. Die ersten drei kommen weiter ins Landesturnier. Bestimmen Sie die Anzahl an Möglichkeiten. Vorlage:Klappbox

Ziehen OHNE Zurücklegen OHNE Reihenfolge:

Beim k-maligen Ziehen aus n möglichen Elementen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge, gibt es $\frac{n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ Möglichkeiten. Man sagt dazu "n über k" oder "n aus k". $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ heißt der Binomialkoeffizient von n über k.

Zusammenfassung

Produktregel

Wählt man aus den Mengen M1 , M2 , M3 ,... mit jeweils n1 , n2 , n3,... Elementen ein Element aus, so gibt es $n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdot \dots$ Möglichkeiten.

Mit Reihenfolge ohne Zurücklegen, falls alle Objekte zu verteilen sind

Für n verschiedene Objekte gibt es $n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot 3\cdot 2\cdot 1$ Möglichkeiten. Wir schreiben dafür kurz $n!$. Gesprochen "n Fakultät".

Hinweis:

• $0!=1$
• $1!=1$

MIT Reihenfolge OHNE Zurücklegen

Beim Ziehen von k Elementen aus n möglichen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen gibt es $\frac{n!}{(n-k)!}$ Möglichkeiten.

Ziehen MIT Zurücklegen MIT Reihenfolge:

Beim k-maligen Ziehen aus n möglichen Elementen mit Zurücklegen und mit Reihenfolge, gibt es $n^k$ Möglichkeiten.

Ziehen OHNE Zurücklegen OHNE Reihenfolge:

Beim k-maligen Ziehen aus n möglichen Elementen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge, gibt es $\frac{n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ Möglichkeiten. Man sagt dazu "n über k" oder "n aus k". $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ heißt der Binomialkoeffizient von n über k.

Übung

1. Entscheiden Sie, ob mit oder ohne Zurücklegen und mit oder ohne Reihenfolge.

	Zurücklegen	Reihenfolge
Lotto-Ziehung
Bingo
Kontroll-Stichprobe bei der Produktion von Murmeln
Entnahme von Murmeln aus der Produktion und Anschauen
Festlegung der PIN am Mobiltelefon

2. Berechnen Sie:

• $9\cdot 8\cdot 7\cdot \dots \cdot 2\cdot 1$
• $5!$
• $\frac{11!}{2!}$
• $10!$
• $\frac{11!}{5!\cdot 6!}$
• $8!$

3. Berechnen Sie die Möglichkeiten bei der Festlegung eines PINs mit

• 4 Ziffern
• 6 Ziffern
• 6 Buchstaben (ohne Umlaute)
• 4 Ziffern oder Buchstaben (ohne Umlaute)

4. Beim Lotto werden 6 aus 49 Kugeln gezogen, die mit 1 bis 49 beschriftet sind. Bestimmen Sie die Anzahl an Möglichkeiten. Wie wahrscheinlich ist es, dass Sie mit Ihrem Tipp richtig liegen?

5. Bei der Produktion von Murmeln haben etwa 5% einen Fehler. Berechnen Sie Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Stichprobe von 9 Murmeln genau 2 defekt sind.

6. Am Ende des Schuljahres werden an die drei besten Preise im Wert von 25 €, 10 € und 5 € verteilt. Bestimmen Sie die Möglichkeiten bei 29 Schüler:innen.