Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Wert einer Kapitalanlage

Endwert eines Kapitals

Beispiel

Die Waise Berta erbt anlässlich ihrer Volljährigkeit am Jahresende 10.000 €. Nun hat aber der Vormund dieses Geld gerade in laufenden Geschäften stecken und bittet das Mündel, doch noch drei Jahre mit der Einforderung zu warten. Damit sich das Warten für das Mündel lohnt, soll das Kapital zu 10% jährlich verzinst werden. Die Verzinsung erfolgt immer zum Jahresende.

Wir nennen den aufgelaufenen Betrag "Kapital" und wollen uns anschaun, wie das Kapital im Lauf der Jahre wächst.

Ende des Jahres t     Kapital  $K_{t}$ 
       0               $K_{0} = 10000$ 
       1               $K_{1} = 10000 + 10000 \cdot 0, 1 = 11000$ 
       2               $K_{2} = 11000 + 11000 \cdot 0, 1 = 12100$ 
       3               $K_{3} = 12100 + 12100 \cdot 0, 1 = 13310$

Also kann Berta wählen, ob sie 10000 € sofort oder 13310 € in drei Jahren haben will.

Allgemein kann man mit dem Zinssatz $i$ und dem Kapital $K_{t}$ am Jahresende $t$ den Prozess der Verzinsung so darstellen:

Ende t  Kapital  $K_{t}$ 
  0        $K_{0}$  
  1        $K_{1} = K_{0} + K_{0} \cdot i = K_{0} \cdot (1 + i)$ 
  2        $K_{2} = K_{1} + K_{1} \cdot i = K_{0} \cdot (1 + i) + K_{0} \cdot (1 + i) \cdot i = K_{0} \cdot (1 + i) \cdot (1 + i) = K_{0} \cdot (1 + i)^{2}$ 
  3        $K_{3} = K_{2} + K_{2} \cdot i = K_{0} \cdot (1 + i)^{2} + K_{0} \cdot (1 + i)^{2} \cdot i = K_{0} \cdot (1 + i)^{2} \cdot (1 + i) = K_{0} \cdot (1 + i)^{3}$

Also erhalten wir $K_{3} = 10000 \cdot (1 + 0, 1)^{3} = 10000 \cdot 1, 1^{3} = 10000 \cdot 1, 331$ . Wir nennen 0,1 den Zinssatz und 10% den Zinsfuß. Der Endwert $K_{n}$ eines Kapitals $K_{0}$ am Ende des Jahres $n$ beträgt allgemein mit $q = 1 + i$ :

K_{n} = K_{0} \cdot (1 + i)^{n} = K_{0} \cdot q^{n}

.

Wir bezeichnen $K_{n}$ als Endwert, $K_{0}$ als Barwert oder Gegenwartswert, $q^{n}$ als Aufzinsungsfaktor. Das Kapital wird also aufgezinst.

Barwert eines Kapitals

Beispiel

Bert möchte sich heuer zu Silvester sein Erbe von 10.000 €, das er in drei Jahren erhalten soll, vorzeitig auszahlen lassen. Da das Geld investiert wurde, entstünde dem Investor ein Schaden, wenn das Geld vorzeitig abgerufen würde. So bekommt er nur einen Teil des Geldes ausbezahlt, und zwar jährlich zu 8% abgezinst, d.h. wenn er jetzt einen uns noch unbekannten Betrag mit jährlich 8% Zinsen anlegen würde, hätte er mit Zinseszins am Ende des dritten Jahres genau 10.000 €. Der gesuchte Betrag ist der Barwert $K_{0}$ des Kapitals $K_{n}$ .

Wir wollen mit Hilfe dieser Überlegung den Barwert ermitteln, den Bert ausgezahlt bekäme:

Wie wir oben gesehen haben, gilt

K_{0} \cdot q^{n} = K_{n}

.

Also erhalten wir

K_{0} \cdot 1, 0 8^{3} = 10000

bzw.

K_{0} = \frac{10000}{1, 0 8^{3}} = 7938, 32 .

Wir nennen $\frac{1}{q^{n}}$ den Abzinsungsfaktor oder Diskontierungsfaktor. $K_{n}$ wird abgezinst oder diskontiert.

Der Barwert $K_{0}$ eines Kapitals, das bis zum Jahresende von n angelegt wurde, beträgt

K_{0} = \frac{K_{n}}{q^{n}} .

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