Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Mengen

Definition

Wir beginnen mit dem Beispiel einer Menge:

Die Menge $A$ umfasst alle Schüler einer bestimmten Klasse, die mindestens 10 Jahre alt sind:

$A=${Horst, Maria, Paula, Bert, ...}.

Definition einer Menge:

"Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Elementen, die man eindeutig identifizieren kann, und die mindestens ein Merkmal aufweisen, mit dem man sie der Menge zuordnen kann."

Wir betrachten die Schülerin Maria, 13 Jahre alt: "Maria" ist die Identifikation und "13 Jahre" ist das Merkmal Alter, mit dem sie in die Menge eingeordnet wird.

Hier ein abstrakteres Beispiel:

Die Menge $B$ enthält alle möglichen Werte einer reellen Zahl zwischen 2 und 4 (einschließlich). Man schreibt

$B=\{x|2\le x\le 4;x\in ℝ\}$ oder $B=\{x\in ℝ|2\le x\le 4\}$

und sagt: Die Menge B enthält alle reellen Zahlen $x$, für die $2\le x\le 4$ gilt.

Ist offensichtlich, um welche Zahlenmenge es sich handelt, kann man auch $ℝ$ weglassen.

Wir notieren Mengen als großbuchstabig. Man schreibt etwa

Maria $\in A$	Maria ist ein Element von $A$.
Gottfried $\notin A$	Gottfried (9 Jahre) ist kein Element von $A$.
$A=B$	$A$ enthält die selben Elemente wie $B$.
$B\subset A$	$B$ ist eine Teilmenge von $A$. Alle Elemente von $B$ sind in $A$ enthalten. Wir vereinbaren: Der Fall $A=B$ ist in $B\subset A$ eingeschlossen. Beispielsweise könnte $B$ die Menge aller Schüler über 12 Jahre sein.

Zu $B\subset A$: "Wir vereinbaren" bedeutet hier, dass aus Bequemlichkeitgründen meistens der Spezialfall $B=A$ als in $B\subset A$ eingeschlossen angenommen wird. Wenn man es genauer haben möchte, kann man es explizit angeben, beispielsweise als $B\subseteq A$.

Eigenschaften von Mengen

Eine Skizze von Mengen mit einem Venndiagramm dient zur Veranschaulichung von Mengen und Operationen mit Mengen. Manchmal ist die maßstabsgetreue Darstellung einer Menge bezüglich ihrer Mächtigkeit hilfreich.

Ein bestimmtes Element zählt in einer Menge nur einmal:

$A=\{0,1,0,0,1\}=\{0,1\}$,

$B=\{\mathrm{W},\mathrm{I},\mathrm{K},\mathrm{I},\mathrm{B},\mathrm{O},\mathrm{O},\mathrm{K}\}=\{\mathrm{W},\mathrm{I},\mathrm{K},\mathrm{B},\mathrm{O}\}$,

$B=\{x|x\le 2\text{ oder }x\le 4\}=\{x|x\le 4\}$.

Falls in der Schulklasse von oben mehrere Marias sind, müssen sie alle aufgeführt werden: {..., Maria1, Maria2, ...}

Man unterscheidet noch zwischen Mengen mit

• abzählbar endlich vielen Elementen, wobei abzählbar bedeutet, dass man die Elemente durchnummerieren kann,

Beispiel: Zeichen des lateinischen Alphabets: $\{\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},\mathrm{Z}\}$.

• abzählbar unendlich vielen Elementen,

Beispiel: Menge der natürlichen Zahlen $N=\{1,2,3,...\}$, Menge der Sterne einer Galaxis (Eine Galaxis hat zwar nur endlich viele Sterne, da aber die maximale Zahl nicht bekannt ist, nimmt man hier zur Vereinfachung die Zahl als unendlich an).

• überabzählbar vielen Elementen, man spricht hier auch von einer stetigen Menge.

Beispiel: Menge der Mittags-Temperaturen in C° in Ampermoching: $A=\{x|-30\le x\le 40;x\in ℝ\}$.

Stetig bedeutet hier, dass man die resultierenden Werte beliebig fein aufteilen kann. Oder man könnte sagen: "In jedem noch so kleinen Intervall befinden sich unendlich viele Elemente. So würden beim obigen Beispiel in einem Teil-Intervall $5\le x\le 6$ etwa 5,79, 5,9999..., 5,000007, usw. liegen. Da man das Intervall beliebig klein aufteilen kann, bezeichnet man es als stetig. Das heißt, man hat keine Unterbrechung auf der Strecke 5 bis 6. Man könnte natürlich einwenden, dass kein Mensch so etwas braucht, weil ja die Thermometer gar nicht so genau messen. Dieser Ansatz hat aber den Vorteil, dass ein Umgehen mit einer stetigen Menge einfacher ist, als etwa 100.000 Werte einzeln verarzten zu müssen. Vor allem in der Theorie liefert die Stetigkeit schnelle und nachvollziehbare Analysen. So definiert man häufig auch Mengen, die sehr viele, aber unterscheidbare Elemente aufweisen, als "quasistetig".

Die Mächtigkeit einer Menge $A$ ist bei einer diskreten Menge die Zahl der Elemente in der Menge. Man schreibt $|A|$.

$A=\{0,1\}$; $|A|=2$,

$|\mathbb{N}|=\mathrm{\infty }$,

$|\varnothing |=0$.

Spezielle Mengen

Leere Menge $\varnothing$ oder $\{\}$: Enthält kein Element.

Universalmenge (Obermenge) $\mathrm{\Omega }$: Enthält die Gesamtheit aller betreffenden Elemente (z.B. alle Schüler der Klasse).

Eine Menge kann auch Mengen als Elemente haben.

Beispiel:

Es werden alle Schulklassen in Bayern betrachtet. Jede Klasse i hat eine Menge $A_i$ mit Schülern über 10. Alle diese Mengen werden nun in einer Menge $Z$ zusammengefasst, die die Namen der Überzehnjährigen für jede Schulklasse enthält:

$Z=$$\{A_1,A_2,...,A_n\}$ mit

$A_1=$ {Alfons, Berta, Cäsar, ...},

$A_2=${Zeppo, Xaver, Yasmin, ...},

...

Ein besondere Menge, die Mengen als Elemente hat, ist die Potenzmenge. Gegeben sei eine beliebige Menge $A$. Dann enthält die Potenzmenge von $A$, $𝒫(A)$ genannt, alle Teilmengen von $A$. Auch die leere Menge ist immer eine Teilmenge einer Potenzmenge, ebenso die Universalmenge.

Beispiel:

Gegeben ist die Menge $A=\{a,b,4\}$. Es ist dann die Potenzmenge

$𝒫(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{4\},\{a,b\},\{a,4\},\{b,4\},\{a,b,4\}\}$

Zahlenmengen

Zahlenmengen sind spezielle Mengen:

• Natürliche Zahlen $\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$

• Ganze Zahlen $\mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

• Rationale Zahlen $\mathbb{Q}=\{q|q=\frac{m}{n};m,n\in Z;n\ne 0\}$

Übersetzt heißt das: Wir haben einen Bruch vorliegen, dessen Zähler und Nenner jeweils eine ganze Zahl ist. Natürlich muss der Nenner ungleich Null sein.

Beispiele: $\frac{1}{2},-\frac{500}{8},\frac{1}{100000},\frac{0}{2}.$

• Reelle Zahlen $ℝ=\{x|-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }\}$

Beispiele: $1,2,1,999...,\sqrt{8},-3,17583,\lg 5,e^7.$

• Komplexe Zahlen $ℂ=\{c|c=a+bi;a,b\in ℝ;i^2=-1\}$. $i$ wird imaginäre Zahl genannt.

Beispiele: $5+3\cdot i,\sqrt{-4},3-2\sqrt{-1}.$

Eine Menge mit bestimmten Eigenschaften wird als Algebraische Struktur bezeichnet. Die Rechenregeln der Zahlenmengen sind solche zusätzlichen Eigenschaften. Beispielsweise sind rationale, reelle und komplexe Zahlen jeweils Körper. Es gilt:

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ$.

Intervalle

Von besonderer Bedeutung ist das Intervall.

Beispiel: Eine Menge A enthält alle möglichen Werte einer reellen Zahl zwischen 1 und 2. Diese Angabe ist jedoch ungenau.

Man unterscheidet:

Geschlossenes Intervall

$A=\{x|1\le x\le 2\}$, kurz: $I=[1;2]$.

Offenes Intervall

$A=\{x|1<x<2\}$, kurz: $I=(1;2)$, häufig auch $]1;2[$.

Halboffenes Intervall

$A=\{x|1\le x<2\}$ → $I=[1;2)$.

$A=x|1<x\le 2$ → $I=(1;2]$.

.

Es gibt auch Intervalle, bei denen mindestens eine Schranke unendlich ist, die uneigentlichen Intervalle. Etwa

$I=(-\mathrm{\infty };5]$; $I=[6;\mathrm{\infty })$; $I=(-1;\mathrm{\infty })$.

Produktmenge (kartesisches Produkt)

Ein kartesisches Produkt $A\times B$ ("$A$ mal $B$" oder "$A$ kreuz $B$") ist die Menge aller Paare, deren erstes Element aus $A$ und deren zweites Element aus $B$ stammt:

$A\times B=\{(a;b)|a\in A\text{ und }b\in B\}$.

Beispiel: Gegeben sind $A=\{0,1,8\},B=\{0,x\},C=\{1,15\}$.

$A\times B=\{(0,0),(0,x),(1,0),(1,x),(8,0),(8,x)\}$.

$B\times C=\{(0,1),(0,15),(x,1),(x,15)\}$.

$B\times C\times A=\{(0,1,0),(0,1,1),(0,1,8),(x,15,0),(x,15,1),(x,15,8)\}$.

Wie man obigem Beispiel entnehmen kann, gibt es auch kartesische Produkte, die aus mehr als zwei Mengen bestehen.

Sind die Mengen stetig, erhält man für die kartesischen Produkte Rechtecke und mehrdimensionale Rechtecke.

Beispiel:

Gegeben sind die Mengen $X=\{x|1\le x\le 10;x\in ℝ\}$ und $Y=\{x|2\le y\le 8;y\in ℝ\}$.

Das kartesische Produkt $X\times Y=\{(x;y)|x\in X\text{ und }y\in Y\}$ ergibt ein Rechteck im kartesischen Koordinatensystem.

Das karthesische Prokukt zwei stetiger Mengen bildet eine Fläche mit unendlich vielen Punkten

Mengenoperationen

Mengen können mittels Operatoren auch verknüpft werden. Das Ergebnis ist wieder eine Menge.

Beispiel: Gegeben sind die Mengen $A=\{1,2,3,5,8\}$, $B=\{4,5,7,8\}$, $C=\{4\}$. Sie sind Teilmengen der Universalmenge $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,7,8,10\}$.

Schnitt ∩

A und B enthält alle Elemente, die $A$ und $B$ gemeinsam haben:

$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$.

Bei Mengen, die keine gemeinsamen Elemente haben, ist die Schnittmenge die leere Menge. Man nennt diese Mengen disjunkt.

Beispiel:

$A\cap B=\{1,2,3,5,8\}\cap \{4,5,7,8\}=\{5,8\}$.

$A\cap C=\mathrm{\varnothing }.$ $A$ und $C$ sind disjunkt.

Vereinigung ∪

$A$ oder $B$ enthält alle Elemente, die in $A$ oder $B$ oder beiden enthalten sind:

$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$.

Beispiel: $A\cup B=\{1,2,3,4,5,7,8\}$.

Differenz \

$A$ ohne $B$ enthält alle Elemente, die in $A$, aber nicht in $B$ enthalten sind:

$A\setminus B=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}$.

Beispiel: $A\setminus B=\{1,2,3\}$.

Komplement $\bar{A}$

$\bar{A}$ ("nicht $A$"), das Komplement von $A$ bezüglich $\mathrm{\Omega }$, enthält alle Elemente, die nicht in $A$, wohl aber in $\mathrm{\Omega }$ enthalten sind.

$\bar{A}=\{x|x\in \mathrm{\Omega }\wedge x\notin A\}$.

Beispiel: $\bar{A}=\{4,7,10\}$.

Mengenalgebra

Für die einfachere Mengenlehre, die für unsere Zwecke genügt, können die Rechenregeln der Mengen von den Axiomen der Aussagenlogik übertragen werden.

Gegeben ist ein Boolesche Algebra mit beliebigen Mengen $A$, $B$, $C$ und den Verknüpfungen ^–, $\cap$, $\cup$.

Mengen und ihre Verknüpfungen erfüllen folgende Gesetze:

• Kommutativität: Es ist $A\cap B=B\cap A$ bzw. $A\cup B=B\cup A$ .

• Assoziativität: Es ist $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$ bzw. $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ .
• Distributivität: Es ist $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ bzw. $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$.

Daraus leitet sich ab:

• $A\cap A=A$ bzw.$A\cup A=A$.
• $A\cap \mathrm{\Omega }=A$ bzw. $A\cup \mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }$.
• $A\cap \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$ bzw. $A\cup \mathrm{\varnothing }=A$.
• $\overline{\stackrel{‾}{A}}=A$.
• $A\cap \bar{A}=\mathrm{\varnothing }$ bzw. $A\cup \bar{A}=\mathrm{\Omega }$.
• Absorptionsgesetz: $A\cap (A\cup B)=A$ bzw. $A\cup (A\cap B)=A$.
• De Morgansche Regel: $\overline{(A\cap B})=\bar{A}\cup \bar{B}$ bzw. $\overline{(A\cup B)}=\bar{A}\cap \bar{B}$.
• $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.
• $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$.

Übungen

Aufgabe 1

Geben Sie die Menge aller reellen Zahlen an, die die Gleichung

$x^2-20x-125=0$

erfüllen.

Aufgabe 2

Zählen Sie die Elemente der Mengen

1. $\{x|\frac{x^2}{2}<40;x\in \mathbb{N}\}$
2. $\{x|x\text{ ist eine natürliche Zahl unter 50, deren Quersumme 3 beträgt}\}$

auf.

Aufgabe 3

Geben Sie die Potenzmenge der Menge $A=X,Y,Z$ an.

Aufgabe 4

Überprüfen Sie mit dem Beispiel von oben, $A=1,2,3,5,8$, $B=4,5,7,8$, $C=4$, $\mathrm{\Omega }=1,2,3,4,5,7,8,10$ die Folgerungen aus den Axiomen der Mengenalgebra.

Aufgabe 5

Gegeben sind die Mengen $X=\{x|0\le x\le 5;x\in \mathbb{N}\}$ und $Y=\{x|1\le y\le 4;y\in \mathbb{N}\}$.

Stellen Sie das kartesische Produkt $X\times Y=\{(x;y)|x\in X\text{ und }y\in Y\}$ grafisch dar.

Aufgabe 6

Der Student Bert fährt an 100 Tagen im Jahr mit dem Fahrrad an seine Hochschule. Er trägt an 80 Tagen seine Pünktchenkrawatte. Man weiß, dass er an 40 Tagen mit dem Fahrrad an die Hochschule kommt und eine Pünktchenkrawatte trägt.

An wieviel Tagen im Jahr kommt er mit dem Fahrrad oder trägt eine Pünktchenkrawatte?

An wie viel Tagen kommt er ohne Pünktchenkrawatte mit dem Fahrrad?

Aufgabe 7

Im Rahmen einer gesellschaftlichen Studie wurden 200 Personen mit einem Fragebogen befragt, ob sie sich regelmäßig durch die bekannten Magazine A, B und C informieren lassen.

Es hatten 50 Personen bei A ein Kreuz gemacht, 60 Personen bei B und 40 Personen bei C. Außerdem waren bei 20 Fragebögen sowohl A als B angekreuzt, bei 20 sowohl A als auch C und bei 30 Fragebögen sowohl B als auch C. 50 Personen gaben an, keines dieser Magazine zu lesen.

Wie viele Leute lesen alle drei Magazine? Wie viele Leute lesen A, aber nicht B? Wie viele Leute lesen nur C?

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