Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Funktionstypen

Besonderheit einer Funktion

Abschnittsweise definierte Funktion

Der Definitionsbereich wird in Intervalle eingeteilt, denen verschiedene Funktionsgleichungen zugeordnet werden.

Beispiel:

Briefporto im Land Postalien: f(x) Taler für eine Postsendung von x Gramm. x setzt sich aus den Intervallen 0 bis 20; über 20 bis 100; mehr als 100 zusammen.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}0<x\le 20\\ 2& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}20<x\le 100\\ \frac{1}{50}\cdot x& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}x>100\end{array}$

Algebraische Funktionen

Allgemein wird die algebraische Funktion folgendermaßen dargestellt:

$f(x;y)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{a}_{ij}{x}^i{y}^j=0$

mit $a_{ij}\in R$.

Da es hier keine explizite unabhängige und abhängige Variable gibt, nennt man diese Art der Darstellung implizit. Häufig ist es algebraisch unmöglich, eine implizite Funktion nach einer Variablen aufzulösen.

Beispiel:

$f(x;y)=2+5x^3-8x{y}^4+0,5y=0$.

Polynome

Beispiel:

$y=f(x)=0,01x^4-0,025x^3-0,5x^2+0,5x+4$ ist ein Polynom 4. Grades.

Allgemein:

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_0{x}^0=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ mit $i\in N$ ist ein Polynom nten Grades.

a_i nennt man die Koeffizienten des Polynoms.

Beispiele:

$f(x)=x^4-0,8x^3-2x^2+1$

$f(x)=x^5-5x^3+8x$

Unten folgt die Grafik der Funktion

$f(x)=\frac{1}{20}(x+4)\cdot (x+2)\cdot (x+1)\cdot (x-1)\cdot (x-3)$.

Man sieht, dass sich durch Ausmultiplizieren wieder ein Polynom ergibt, und zwar fünfter Ordnung.

Bestimmte Eigenschaften kann man Polynomen an der "Nasenspitze" ansehen:

Ist der Grad des Polynoms ungerade, ist die Funktion nach oben und unten unbeschränkt. Ist der Koeffizient $a_n$ positiv, verläuft die Funktion tendenziell von links unten nach rechts oben, gewissermaßen von Südwesten nach Nordosten. Ist dagegen $a_n$ negativ, verläuft die Funktion tendenziell von links oben nach rechts unten, also gewissermaßen von Nordwesten nach Südosten. In der obigen Grafik ist $a_n$ positiv.

Polynome lassen sich sämtlich faktorisiert darstellen, also in der Form

$f(x)=a_n\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)\cdot (x-x_3)\cdot \cdots \cdot (x-x_n)$.

Die $x_i$ sind die Nullstellen des Polynoms.

Spezielle Polynome

1. Konstante Funktion f(x) = a

Funktion $y=15$

Beispiele

In einem Restaurant kann man bei einem Salatbüffet für einen Preis (y) von 15 € soviel Gramm (x) Salat essen, wie man möchte.

Eine bekannte ökonomische Anwendung der konstanten Funktion sind die fixen Kosten, die auch für alle produzierten Mengen x gleich bleiben.

Die Rechteckverteilung oder stetige Gleichverteilung, die aus der Statistik bekannt ist, hat auch eine konstante Funktion als Dichtefunktion.

2. Lineare Funktion f(x)= a + bx.

Die lineare Funktion wird aufgrund ihrer einfachen Handhabung häufig für wirtschaftswissenschafliche Anwendungen verwendet.

Eine Gerade wird durch zwei Punkt eindeutig bestimmt. Sind die Wertepaare (x₁;y₁) und (x₂;y₂) gegeben, errechnen sich die Steigung b als

$b=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

und das Absolutglied als $a=y_1-b{x}_1$.

3. Quadratische Funktion $f(x)=a{x}^2+bx+c$

Beispiel

$y=4-(3-x{)}^2=-x^2+6x-5$.

Gebrochen rationale Funktion

Die gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome

Beispiele:

$f(x)=\frac{x^3}{3-x^2}$ für $x\pm \sqrt{3}$ ist f(x) nicht definiert.

$f(x)=\frac{1}{x}$ für $x\in R\setminus \{0\}$

$f(x)=\frac{x^2}{x^2+2}$ für $x\in R$.

$f(x)=\frac{1+(2+x{)}^3}{(2+x{)}^2}$

$=2+x+\frac{1}{(2+x{)}^2}$ für $x\ne -2$.

Wurzelfunktionen

Eine Wurzelfunktion ergibt sich, wenn eine implizite algebraische Funktion nach y aufgelöst wird.

Beispiel für Auflösung einer algebraischen Funktion:

$f(x;y)=y^3-x^2+4=0\Rightarrow y^3=x^2-4=0$

$\Rightarrow f(x)=y=\sqrt[3]{x^2-4}$

Beispiel einer volkswirtschaftlichen Produktionsfunktion:

$f(x)=A^{\beta }\cdot K^{1-\beta }$ mit y: Produktion, A: Arbeit und K: Kapital, 0 ≤ β ≤ 1.

Beachten: Im allgemeinen ist bei einfachen Wurzelfunktionen $D=R_0^{+}$

Transzendente Funktionen

Alle Funktionen, die nichtalgebraisch sind, werden transzendente Funktionen genannt. Im Folgenden werden ausgewählte transzendente Funktionen behandelt.

Exponentialfunktionen

Beispiele

• $f(x)=2^{-x}$
• $f(x)=e^{\frac{x-1}{x+3}}$
• $f(x)=\frac{5^{\sqrt{x}}}{1-e^{\frac{x^2}{2}}}$

Spezialfälle sind die elementaren Exponentialfunktionen $f(x)=a^x$ für a > 0.

Exponentialfunktionen werden häufig bei stetigen Wachstumsfunktionen verwendet.

Beispiel: Wachstum der Bevölkerung einer Stadt

Zu Anfang, im Zeitpunkt t=0, zählt man 1200 Einwohner. Die Wachstumsrate ist 0,1. Ber Bestand im Zeitablauf kann beschrieben werden als

$f(t)=1200e^{0,1t}$

Bestand im Jahr 10: $1200e^{0,1\cdot 10}=1200e=3262$.

Beispiel für die Entwicklung der Nachfrage eines neuen Gutes im Zeitablauf:

$f(x)=\frac{40}{1+3\cdot e^{-\frac{2}{3}t}}$.

Das ist die logistische Funktion

$f(x)=\frac{a}{1+b\cdot e^{-ct}}$,

wobei a der Sättigungswert ist.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen:

Für x ≥ 0 sind a^x streng monoton steigend und a^-x streng monoton fallend. Sie sind nach unten beschränkt und haben keine Nullstelle.

Logarithmusfunktionen

Die einfache Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der einfachen Exponentialfunktion. Es ist mit $x=g(y)$ und $y=f(x)$

z. B.:

$x=e^y\iff y=\ln x$.

Allgemein:

$x=a^y\iff y={\log }_{a}x$.

Logarithmusfunktionen sind streng monoton steigend und unbeschränkt. Alle einfachen L-Funktionen sind nur für x > 0 definiert und schneiden die Abszisse im Punkt 1.

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