Mathematik für Geodäten: Rotationen im Dreidimensionalen

Drehsinn

Im Dreidimensionalen lässt sich jede Rotation durch mehrere Rotationen um die Koordinatenachsen beschreiben. Dies kann je nach belieben rechts oder linksdrehend (siehe Zeichnung) erfolgen. Mit

• rechtsdrehend
• linksdrehend

ist

• rechtsdrehend
• linksdrehend

für positive Winkel gemeint!

Eine Matrix, die ein rechtsläufige Rotation beschreibt, kann durch w:transponieren in eine linksdrehende Rotationsmatrix verwandelt werden. Praktisch heisst das, man muss das Minuszeichen von dem einen Sinus zum anderen tun.

Drehmatrix

• Rechtsdrehende Rotation mit x₁-Achse als Drehachse:

${𝐑}_1(\alpha )=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0& -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$,

• Linksläufige Rotation mit x₂-Achse als Drehachse:

${𝐑}_2(\beta )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \beta & 0& -\sin \beta \\ 0& 1& 0\\ \sin \beta & 0& \cos \beta \end{array}\right)$,

• Rechtssinnige Rotation mit x₃-Achse als Drehachse:

${𝐑}_3(\gamma )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0\\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$