Mathematik für Faule: Topologie/ Distanzen

Ist der zugrundeliegende Distanzraum Cauchysch, so hat jede Kontraktionszuordnung einen Fixpunkt; anschaulich handelt es sich um das Zentrum des Raumes, zu welchem hin er durch die Zuordnung kontrahiert wird.

Man kann noch mehr beweisen: Mit der Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ definiert wie oben gilt

$d(x_n,x_{\mathrm{\infty }})\le d(x_n,x_m)+d(x_m,x_{\mathrm{\infty }})\le K^n\frac{1}{1-K}+d(x_m,x_{\mathrm{\infty }})$,

also mit $m\to \mathrm{\infty }$.

$d(x_n,x_{\mathrm{\infty }})\le K^n\frac{1}{1-K}$

Da der Startwert $x_0$ beliebig war, gilt folglich

$\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{f}^n(X)=\{x_{\mathrm{\infty }}\}$.

Wendet man also $f$ wieder und wieder auf $X$ an, so wird $X$ auf einen Punkt zusammengeschrumpft.