Mathematik für Faule: Mehr über Arithmoide/ Primaxgleiche Arithmoide

Der Beweis sei eine Übungsaufgabe, die allerdings vergleichsweise wenig Mühen erfordert.

Übungsaufgaben

1. Beweise die obige Charakterisierung der Gleichradikalringe.
2. Beweise: Falls $R$ ein Ring ist, sodass für jedes maximale Ideal $m\le R[x]$ die Schnittmenge $R\cap m$ maximal in $R$ ist, so ist $R$ ein Gleichradikalring. Hinweis: Für ein Primideal $p\le R$ gehe zum Restklassenring $R/p$ über. Wenn $a\notin p$ ist, wähle in $R/p[x]$ ein maximales Ideal $m$, welches $⟨1-\bar{a}x⟩$ enthält. Warum kann $m$ das Element $\bar{a}$ nicht enthalten?