Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Die Bernoulli-Zahlen

Die Bernoulli-Zahlen sind eine Folge $(B_n{)}_{n\ge 0}$. In der Literatur finden sich verschiedene Definitionen für $B_1$, aber sonst sind sich die Definitionen alle einig. Wir wollen die folgende Definition verwenden, weil die Rechnungen damit besonders einfach werden:

Offenbar gilt $B_n(0)=B_n$, die Formel $B_n(1)=B_n$ für $n\ge 2$ folgt dagegen aus der oben gezeigten Rekursionsformel der Bernoulli-Zahlen.

Die nächste Formel, die wir beweisen werden, ist motiviert durch die Idee der Annäherung eines Integrals durch eine Summe. Und zwar soll das Integral

$\underset{n}{\overset{m}{\int }}f(x)dx$

durch eine Summe approximiert werden, wobei wir uns die Einschränkung auferlegen, dass die Werte von $f$ nur in den ganzzahligen Stellen $n,n+1,n+2,\dots ,m$ verwendet werden dürfen. Falls $m=n+1$, so ist eine naheliegende Approximation der Durchschnitt

$\frac{f(n)+f(n+1)}{2}$.

Für ein allgemeines $m$ kann man diese Approximation in allen Intervallen $[k,k+1]$ nehmen und dann summieren. Man erhält so die Annäherung

$S:=\frac{f(n)}{2}+\sum _{k=1}^{n-1}f(k)+\frac{f(m)}{2}$.

Die Güte dieser Approximation ist der Gegenstand der folgenden Formel.

Eine direkte Anwendung dieser Formel auf das Monom $x\mapsto x^d$ ergibt die folgende Formel:

Für das computarisierte Ausrechnen der sog. Faulhaber-Polynome (dieser Begriff bezeichnet nämlich die rechte Seite der obigen Gleichung) hohen Grades ist die folgende Formel nützlich: