Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K6: Erwartung von Funktionen von Zufallsvariablen

6.3 Erwartung von Funktionen von Zufallsvariablen

Oft müssen wir die Erwartung einer Funktion einer oder mehrerer Zufallsvariablen bestimmen. Wir betrachten zuerst ein Beispiel.

Beispiel 1

Wir werfen eine faire Münze solange bis wir "Kopf" werfen. Die Zufallsvariable $N$ bezeichnet die benötigte Anzahl Würfen und ist geometrisch verteilt mit Parameter 1/2. Wenn wir $n$ Würfe brauchten, bekommen wir einen Betrag $2^{-n}$ ausgezahlt. Die Ausbezahlung nennen wir $X$. Sie ist eine Funktion von $N$, und zwar $X=2^{-n}$. Für die erwartete Ausbezahlung berechnen wir:

$EX=\sum _{x\in S_X}xP(X=x)=\frac{1}{2}P(X=\frac{1}{2})+\frac{1}{4}P(X=\frac{1}{4})+\frac{1}{8}P(X=\frac{1}{8})+...$.

Nun ist

$P(X=2^{-n})=P(N=n)=(\frac{1}{2}{)}^n$,

also ist:

$EX=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}{)}^n(\frac{1}{2}{)}^n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{4}{)}^n=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}.$

Es zeigt sich, dass wir auf selbstverständliche Weise schreiben können:

$EX=E{2}^{-N}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}{)}^{n}P(N=n),$

wobei $EX$ in der Verteilung von $N$ ausgedrückt ist. Wir brauchen also nicht zuerst die Verteilung von $X$ zu bestimmen.

Was wir im Beispiel sahen, gilt ganz allgemein, wie der nächste Satz zeigt.

Satz 6.3.1

Es seien $X_1,\dots ,X_n$ Zufallsvariablen und $g:{ℝ}^n\to ℝ$ eine Funktion, dann ist

$Eg(X_1,...,X_n)=\sum _{x_1,...,x_n}g(x_1,...,x_n)P(X_1=x_1,...,X_n=x_n).$

Dabei wird also summiert über alle möglichen Werte $(x_1,\dots ,x_n)$ von$(X_1,\dots ,X_n)$.

Beweis.

Nenne $X=(X_1,\dots ,X_n)$ und $x=(x_1,\dots ,x_n)$. Dann gilt für die Zufallsvariable $g(X)$:

$Eg(X)=\sum _{s\in S}g(X(s))p(s)=\sum _{x}g(x)P(X=x)$

Um die Erwartung einer Funktion $Y=g(X)$ von $X$ zu bestimmen, brauchen wir also nicht zuerst die Verteilung von $Y$ zu berechnen, sondern können mit dem obigen Satz die Erwartung $Eg(X)$ direkt mittels der Verteilung von $X$ bestimmen.

Beispiel 2 (zweimal Würfeln (Fortsetzung))

Die Zufallsvariablen $Z=X+Y$ und $M=\max (X,Y)$ sind Funktionen der Augenzahlen $X$ und $Y$ zw. des ersten und des zweiten Wurfs. Wir berechnen:

$EZ=E(X+Y)=\sum _{x=1}^6\sum _{y=1}^6(x+y)P(X=x,Y=y)=\frac{1}{36}\sum _{x=1}^6\sum _{y=1}^6(x+y)=7$

und

$EM=E\max (X,Y)=\sum _{x=1}^6\sum _{y=1}^6\max (x,y)P(X=x,Y=y)=\frac{1}{36}\sum _{x=1}^6\sum _{y=1}^6\max (x,y)=$

$=\frac{1}{36}\sum _{m=1}^{6}m(2m-1)=\frac{161}{36}.$

Für die letztere Summe bedenken wir, dass es $2m-1$ Paare $(x,y)$ gibt, für die $\max (x,y)=m$.

Merke auf, dass $E(X+Y)=EX+EY$. In einem weiteren Paragrafen werden wir sehen, dass diese Beziehung allgemein gültig ist.

Wir vergleichen dieses Ergebnis mit einer Berechnung von $EZ$ und $EM$ mittels der Verteilungen von $Z$ und $M$:

$EZ=\sum _{z=2}^{12}zP(Z=z)=2\times \frac{1}{36}+2\times \frac{3}{36}+4\times \frac{3}{36}+\dots +12\times \frac{1}{36}=7$

und

$EM=\sum _{m=1}^{6}mP(M=m)=1\times \frac{1}{36}+2\times \frac{3}{36}+\dots +6\times \frac{11}{36}=\frac{161}{36}.$