Mathematik: Topologie: Trennungseigenschaften

Trennungseigenschaften sind Eigenschaften, die beschreiben, inwieweit sich Punkte in einem topologischen Raum voneinander trennen lassen. Das heißt intuitiv: Liegen Punkte so nahe beeinander, dass ich sie (topologisch) nicht unterscheiden kann? Oder liegt der eine Punkt so nahe bei einem anderen, dass ich ihn nicht von diesem anderen Punkt unterscheiden kann, andersherum aber sehr wohl?

Topologische Räume, bei denen man Punkte nicht voneinander trennen kann, sind für gewisse topologische Theorien unschön, und werden dort daher nicht weiter betrachtet (z. B. in Teilen der Homotopietheorie). In anderen Gebieten treten topologische Räume, in denen dies nicht der Fall ist, jedoch natürlich auf (z. B. in der Theorie der stetigen Verbände).

Im Folgenden geben wir einen Überblick über Trennungseigenschaften (oder auch Trennungsaxiome):

T1

Charakterisierung von T1-Räumen

Satz: Für einen topologischen Raum $X$ sind folgende Eigenschaften äquivalent:

(a) X ist ein T1-Raum.

(b) Jede einpunktige Menge ist abgeschlossen.

(c) Jede Teilmenge $A\subset X$ ist der Durchschnitt aller ihrer Umgebungen.

Beweis:

(a)=>(b): Es sei $x\in X$ fest gewählt. Nach Voraussetzung gibt es zu jedem $y\ne x$ eine offene Menge $U_y$, die $x$ nicht enthält. Somit ist $U=\bigcup \{U_y|y\in X\wedge y\ne x\}$ als Vereinigung offener Mengen offen. Weiter gilt $\{x\}=X\mathrm{\setminus }U$. Somit ist diese Einpunktmenge Komplement einer offenen Menge und definitionsgemäß abgeschlossen.

(b)=>(c): Sei $x\notin A$.$X\mathrm{\setminus }\{x\}$ ist eine offene Umgebung von $A$ und es gilt $A=\bigcap \{X\mathrm{\setminus }\{x\}|x\ne A\}$.

(c)=>(a): Da $\{x\}$ nach Voraussetzung Durchschnitt all seiner Umgebungen ist, muss es zu jedem $y\ne x$ eine Umgebung von $x$ geben, die $y$ nicht enthält.