Mathematik: Topologie: Topologisches Produkt

Ein intuitiver Weg, eine Topologie auf dem Produkt beliebig vieler topologischer Räume zu definieren, ist der folgende: Bilde alle Produkte von Mengen, die in den einzelnen topologischen Räumen offen sind. Diese bilden eine Basis auf dem Produktraum und erzeugen daher eine Topologie. Diese wird üblicherweise Boxtopologie genannt. Für die Produkttopologie wählt man jedoch einen anderen Zugang, der schönere Eigenschaften des Produktes liefert; unter anderem entspricht diese Konstruktion dem kategoriellen Produkt in der Kategorie der topologischen Räume. Hier betrachtet man nur Produkte offener Mengen, bei denen alle bis auf endlich viele trivial, d.h. der ganze Raum sind.

Für endliche Produkte stimmt diese Topologie mit der Boxtopologie überein, für unendliche Produkte kann sie jedoch gröber sein, d.h. weniger offene Mengen enthalten, da man ja eine kleinere Basis betrachtet.

Eine wichtige Eigenschaft der Produkttopologie ist die Stetigkeit aller Projektionen ${\pi }_k:\prod _{i\in I}{X}_i\to X_k$auf die einzelnen Faktoren. Eine genauere Aussage ist die folgende:

Topologisches Produkt als Kategorielles Produkt

Die Produkttopologie macht das mengentheoretische Produkt zum kategoriellen Produkt in der Kategorie der topologischen Räume mit stetigen Abbildungen, da es die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Diese Aussage führt sofort zu folgender Aussage:

Aus der Kategorientheorie wissen wir, dass das Produkt (bis auf Isomorphie) der einzige topologische Raum ist, der diese Eigenschaft erfüllt. Dies ist der Grund, warum man diese Topologie der Boxtopologie auf dem Produkt vorzieht.